{"id":3047,"date":"2020-08-05T17:15:22","date_gmt":"2020-08-05T15:15:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/?page_id=3047"},"modified":"2024-04-10T15:29:04","modified_gmt":"2024-04-10T13:29:04","slug":"methode-de-newton","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/methode-de-newton\/","title":{"rendered":"M\u00e9thode de Newton"},"content":{"rendered":"\n

La m\u00e9thode de Newton<\/em> est une des m\u00e9thodes algorithmiques de r\u00e9solution d’\u00e9quations. Elle vient palier au d\u00e9faut majeur de la dichotomie<\/a>, \u00e0 savoir sa “lenteur”. Quel en est le principe ? Comment l’impl\u00e9menter en Python ?<\/p>\n\n\n\n

\"m\u00e9thode
Isaa Newton<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n\n\n\n\n

Principe math\u00e9matique de la m\u00e9thode de Newton<\/h2>\n\n\n\n

On consid\u00e8re une fonction f<\/em> continue et d\u00e9rivable sur un intervalle [a<\/em> ; b<\/em>]. On pose alors \\(x_0 = a\\) et \\(A_0(x_0;f(x_0))\\) en lequel on trace une tangente.<\/p>\n\n\n

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M\u00e9thode de Newton : \u00e9tape 0<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Cette tangente coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse not\u00e9e \\(x_1\\):<\/p>\n\n\n

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M\u00e9thode de Newton : \u00e9tape 1<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

On consid\u00e8re alors le point \\(A_1(x_1;f(x_1))\\) en lequel on trace la tangente \u00e0 la courbe:<\/p>\n\n\n

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\"m\u00e9thode
M\u00e9thode de Newton : \u00e9tape 2<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Cette tangente coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse \\(x_2\\). On consid\u00e8re alors le point \\(A_2(x_2;f(x_2))\\) en lequel on trace la tangente \u00e0 la courbe, qui coupe l’axe des abscisses en \\(x_3\\), etc.<\/p>\n\n\n\n

On construit ainsi une suite de nombre sur l’axe des abscisses qui se rapprochent de la solution de l’\u00e9quation : le point d’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses.<\/p>\n\n\n\n

La suite num\u00e9rique d\u00e9finie par la m\u00e9thode de Newton<\/h2>\n\n\n\n

Consid\u00e9rons un point \\(A_n(x_n;f(x_n))\\) ; l’\u00e9quation de la tangente en ce point est:$$y=f'(x_n)(x-x_n)+f(x_n)$$et \\(x_{n+1}\\) est donc d\u00e9fini comme la solution de l’\u00e9quation :$$0=f'(x_n)(x_{n+1}-x_n) + f(x_n)$$ soit: $$x_{n+1} = -\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}+x_n.$$Il faut donc, pour que cette m\u00e9thode fonctionne, que tous les \\(f'(x_n)\\) soient non nuls sur l’intervalle consid\u00e9r\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Ainsi, nous allons consid\u00e9rer la suite \\(x_n\\) d\u00e9finie par:$$\\begin{cases}x_0=a\\\\x_{n+1}=-\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}+x_n\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

Impl\u00e9mentation en Python <\/h2>\n\n\n\n

Une fois la suite d\u00e9finie, il n’y a rien de bien compliqu\u00e9 dans l’impl\u00e9mentation en Python de la m\u00e9thode:<\/p>\n\n\n\n

def newton(fonction,derivee,a,e):\n    delta = 1\n    while delta > e:\n        x = -fonction(a)\/derivee(a) + a\n        delta = abs(x - a)\n        a = x\n        \n    return x , delta\n        \nprint( newton(lambda x: 0.1*x**3-x+1 , lambda x: 0.3*x**2-1 , 0 , 0.001) )<\/pre>\n\n\n\n
La fonction newton<\/em> admet quatre arguments:<\/p>\n\n\n\n