Notons:$$x_k = a + \\frac{b-a}{n}k$$ pour \\(k\\) entier compris entre 0 et n<\/em> inclus, et consid\u00e9rons les rectangles:<\/p>\n\n\n\n Intuitivement, plus le nombre de rectangles grandit, plus les sommes des aires des rectangles vont se rapprocher vers l’int\u00e9grale de la fonction sur le m\u00eame intervalle.<\/p>\n\n\n\n Autrement \u00e9crit, si \\(\\mathcal{A}_n(I)\\) et \\(\\mathcal{A}_n(J)\\) repr\u00e9sentent respectivement la somme des aires des rectangles I<\/em> et J<\/em>, alors:$$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\mathcal{A}_n(I) = \\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\mathcal{A}_n(J) = \\int_a^b f(x)\\text{d}x.$$De plus, si f<\/em> est strictement croissante sur [a<\/em> ; b<\/em>]:$$\\mathcal{A}_n(I) \\leqslant \\int_a^b f(x)\\text{d}x \\leqslant \\mathcal{A}_n(J).$$Si la fonction est strictement d\u00e9croissante, l’encadrement est bien entendu invers\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Ainsi, si on arrive \u00e0 calculer \\(\\mathcal{A}_n(I)\\) et \\(\\mathcal{A}_n(J)\\), on aura un encadrement de l’int\u00e9grale.<\/p>\n\n\n\n Il n’y a rien de bien compliqu\u00e9 du point de vue algorithmique; en effet, <\/p>\n\n\n\n Il est \u00e0 noter la syntaxe particuli\u00e8re de la fonction en Python: j’utilise ici l’op\u00e9rateur lambda<\/em><\/strong>, qui me semble tr\u00e8s pratique. Cela \u00e9tant dit, on peut aussi utiliser une autre syntaxe peut-\u00eatre plus naturelle:<\/p>\n\n\n\n Dans ce dernier script, la fonction est d\u00e9finie \u00e0 part. On enl\u00e8ve donc l’argument repr\u00e9sentant la fonction f<\/em> de la fonction Python integrale<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Pour information, en lan\u00e7ant ce script, s’affiche le r\u00e9sultat suivant:<\/p>\n\n\n\n Et en augmentant consid\u00e9rablement la valeur de n<\/em> \u00e0 1000000, on arrive (mais \u00e0 quel co\u00fbt !) \u00e0:<\/p>\n\n\n\n Sachant que la valeur exacte est \\(\\frac{1}{3}\\), cette m\u00e9thode ne semble pas r\u00e9ellement efficace. En effet, pour \\(n=10^6\\), nous n’avons qu’une valeur approch\u00e9e \u00e0 \\(10^{-6}\\), ce qui laisse \u00e0 penser que la complexit\u00e9 de cette m\u00e9thode est lin\u00e9aire, ce qui peut poser probl\u00e8me pour de tr\u00e8s grandes valeurs de n<\/em>. D’ailleurs, lancez le script et voyez le temps que cela prend pour \\(n=10^{12}\\)… Spoiler alert: soyez tr\u00e8s patient\u00b7e\u00b7s !<\/p>\n\n\n\n Il existe d’autres m\u00e9thodes permettant d’obtenir une valeur approch\u00e9e d’une int\u00e9grale. Je vous en pr\u00e9sente une sur cette page<\/a>, tout aussi lente. Il en existe tout de m\u00eame des plus rapides comme celle utilis\u00e9e par certaines calculatrices : la m\u00e9thode de Simpson<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Voici un script qui permet de dessiner les rectangles inf\u00e9rieurs et sup\u00e9rieurs:<\/p>\n\n\n\n\n
![\"m\u00e9thode](\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/methode-des-rectangles-1.png\")
\u00c0 droite : les rectangles \\(J_k\\) sur [0;1] subdivis\u00e9 en n<\/em> = 5<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\nImpl\u00e9mentation en Python<\/h2>\n\n\n\n
def integrale(f,a,b,n):\n longueur = (b - a) \/ n\n aire_inf , aire_sup = 0 , 0\n for k in range (n):\n aire_inf = aire_inf + longueur * f(a + k * longueur )\n aire_sup = aire_sup + longueur * f(a + (k+1) * longueur )\n return aire_inf , aire_sup\n\naire_inf , aire_sup = integrale( lambda x: x*x , 0 , 1 , 100 )\nprint(\"{} < integrale < {}\".format(aire_inf,aire_sup))<\/pre>\n\n\n\n\n
def integrale(a,b,n):\n longueur = (b - a) \/ n\n aire_inf , aire_sup = 0 , 0\n for k in range (n):\n aire_inf = aire_inf + longueur * f(a + k * longueur )\n aire_sup = aire_sup + longueur * f(a + (k+1) * longueur )\n return aire_inf , aire_sup\n\ndef f(x):\n return x**2\n\naire_inf , aire_sup = integrale( 0 , 1 , 100 )\nprint(\"{} < integrale < {}\".format(aire_inf,aire_sup))<\/pre>\n\n\n\n0.32835000000000014 < integrale < 0.33835000000000015<\/pre>\n\n\n\n
0.3333328333334962 < integrale < 0.3333338333334962<\/pre>\n\n\n\n
Compl\u00e9ment: dessiner les rectangles<\/h2>\n\n\n\n
import numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef rectangle(n, f, a, b, label=None):\n \"\"\"\n Trace f(x) sur [a,b] et affiche les rectangles gauche (inf.) et droite (sup.)\n Si label est None, affiche 'f(x)' comme label.\n Retourne (aire_left, aire_right).\n \"\"\"\n if n < 1 or not isinstance(n, int):\n raise ValueError(\"n doit \u00eatre un entier >= 1\")\n\n dx = (b - a) \/ n\n left_edges = np.linspace(a, b - dx, n)\n right_edges = np.linspace(a + dx, b, n)\n\n heights_left = f(left_edges)\n heights_right = f(right_edges)\n\n area_left = np.sum(heights_left * dx)\n area_right = np.sum(heights_right * dx)\n\n is_increasing = f(b) >= f(a)\n\n x_plot = np.linspace(a, b, 400)\n plt.figure(figsize=(8, 5))\n plt.plot(x_plot, f(x_plot), 'k', label=label or \"f(x)\", linewidth=2)\n\n if is_increasing:\n # Trace orange d'abord (en dessous), puis bleu (dessus)\n plt.bar(right_edges - dx, heights_right, width=dx, align='edge',\n edgecolor='black', alpha=0.35, color='orange',\n label=f\"Sup., Aire={area_right:.6f}\")\n plt.bar(left_edges, heights_left, width=dx, align='edge',\n edgecolor='black', alpha=0.35, color='blue',\n label=f\"Inf., Aire={area_left:.6f}\")\n else:\n # Trace bleu d'abord, puis orange (ordre original)\n plt.bar(left_edges, heights_left, width=dx, align='edge',\n edgecolor='black', alpha=0.35, color='blue',\n label=f\"Inf., Aire={area_left:.6f}\")\n plt.bar(right_edges - dx, heights_right, width=dx, align='edge',\n edgecolor='black', alpha=0.35, color='orange',\n label=f\"Sup., Aire={area_right:.6f}\")\n\n ymin = min(0, float(np.min(heights_left)), float(np.min(heights_right)))\n ymax = max(float(np.max(heights_left)), float(np.max(heights_right)))\n plt.xlim(a - 0.02 * (b - a), b + 0.02 * (b - a))\n plt.ylim(ymin - 0.05 * (ymax - ymin + 1e-9), ymax + 0.05 * (ymax - ymin + 1e-9))\n plt.xlabel('x')\n plt.ylabel('f(x)')\n plt.title(f\"M\u00e9thodes des rectangles (n={n})\")\n plt.legend()\n plt.grid(alpha=0.2)\n plt.show()\n\n return area_left, area_right\n\nrectangle(8, lambda x: x**2, 1, 2, label=r\"$f(x)=x^2$\" ) # f(x)=x^2 --> l'affichage de ce script sur ce site pr\u00e9sente l'expression sous la forme LaTeX mais c'est ainsi que l'on doit l'\u00e9crire<\/pre>\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/rectanglesSupInf-300x188.webp\")
<\/a>