{"id":3372,"date":"2020-09-10T11:50:33","date_gmt":"2020-09-10T09:50:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/?page_id=3372"},"modified":"2023-04-16T16:20:22","modified_gmt":"2023-04-16T14:20:22","slug":"les-differents-types-de-raisonnements-en-mathematiques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/les-differents-types-de-raisonnements-en-mathematiques\/","title":{"rendered":"Raisonnements math\u00e9matiques: vue d&rsquo;ensemble"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il existe diff\u00e9rents types de raisonnements math\u00e9matiques. Nous allons voir sur cette page les plus importants : raisonnement inductif, d\u00e9ductif, par l&rsquo;absurde, par r\u00e9currence, etc.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement inductif<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement inductif<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce type de raisonnement est le plus facile \u00e0 appr\u00e9hender. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e8s le coll\u00e8ge, on apprend aux \u00e9l\u00e8ves \u00e0 observer pour d\u00e9duire (notamment en g\u00e9om\u00e9trie) : les droites semblent-elles parall\u00e8les ? Perpendiculaires ?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le <em><strong>raisonnement inductif<\/strong><\/em> consiste \u00e0 partir de faits empiriques, faits observ\u00e9s par une exp\u00e9rience, pour en d\u00e9duire quelque chose de plus g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est le principe des sondages : sur un \u00e9chantillon repr\u00e9sentatif d&rsquo;une population, \u00e0 taille r\u00e9duite, on observe un ph\u00e9nom\u00e8ne et on le g\u00e9n\u00e9ralise \u00e0 la population enti\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement inductif<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous observons que l&rsquo;eau, l&rsquo;huile, le vin et le lait cong\u00e8lent si la temp\u00e9rature est tr\u00e8s basse. On peut donc <em>conjecturer<\/em> que tous les liquides se cong\u00e8lent si tent\u00e9 que l&rsquo;on baisse suffisamment la temp\u00e9rature.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cet exemple est inspir\u00e9 de la page <a href=\"http:\/\/www.cosmovisions.com\/induction.htm\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">http:\/\/www.cosmovisions.com\/induction.htm<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On l&rsquo;aura compris, d\u00e8s que l&rsquo;on demande aux \u00e9l\u00e8ves de conjecturer une propri\u00e9t\u00e9, on leur demande de faire un raisonnement inductif.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement d\u00e9ductif: un des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement d\u00e9ductif: le syllogisme<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est le contraire du raisonnement inductif. On part d&rsquo;un fait g\u00e9n\u00e9ral pour en d\u00e9duire qu&rsquo;un de ses cas particuliers est vrai.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement d\u00e9ductif<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Appuyons-nous sur l&rsquo;exemple pr\u00e9c\u00e9dent. Partons du principe que tous les liquides deviennent solides une fois la temp\u00e9rature devenue assez basse. L&rsquo;eau est un liquide, donc l&rsquo;eau devient solide \u00e0 une temp\u00e9rature suffisamment basse. C&rsquo;est un <em>syllogisme<\/em>. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un syllogisme devenu c\u00e9l\u00e8bre est le suivant : <\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Tout homme est mortel,<\/p><p>Or Socrate est homme,<\/p><p>Donc Socrate est mortel.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est un raisonnement d\u00e9ductif : A implique B; or, B implique C. Donc A implique C.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement par abduction<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Principe du raisonnement par abduction<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce raisonnement consiste \u00e0 partir de faits \\(A_1,\\ A_2,\\ \\ldots,\\ A_n\\) dont une cause possible est not\u00e9e \\(B\\), et d&rsquo;en conclure que \\(B\\) est r\u00e9alis\u00e9e. On peut l&rsquo;\u00e9crire ainsi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>\\(A_1\\), \\(A_2\\), &#8230; , \\(A_n\\) sont vrais<\/li><li>\\(B \\Rightarrow A_k\\) pour \\(k=1,2,\\ldots,n\\)<\/li><li>Donc \\(B\\) est vrai.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement par abduction<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un docteur en m\u00e9decine observe plusieurs sympt\u00f4mes chez un client&#8230; euh ! Un patient ! Il peut alors diagnostiquer une maladie M connue pour avoir de tels sympt\u00f4mes.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement par r\u00e9currence: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement par r\u00e9currence<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On souhaite d\u00e9montrer une propri\u00e9t\u00e9, not\u00e9e P(<em>n<\/em>), qui d\u00e9pend d&rsquo;un entier \\(n\\geqslant n_0\\). Pour cela, on peut:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>v\u00e9rifier que P(\\(n_0\\)) est vraie (ce point est appel\u00e9e l&rsquo;<em>initialisation<\/em>);<\/li><li>d\u00e9montrer que, pour un entier <em>k<\/em> &gt; \\(n_0\\), si P(<em>k<\/em>) est vraie alors P(<em>k<\/em>+1) l&rsquo;est aussi (c&rsquo;est ce que l&rsquo;on nomme l&rsquo;<em>h\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/em>).<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est le <em>principe de r\u00e9currence faible<\/em>, que l&rsquo;on voit en lyc\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut aussi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>v\u00e9rifier que P(\\(n_0\\)), P(\\(n_0+1\\)),&#8230;,P(\\(n_0+p\\)) sont vraies;<\/li><li>d\u00e9montrer que pour pour un entier <em>k<\/em> &gt; \\(n_0+p\\), si P(<em>k<\/em>) est vraie alors P(<em>k<\/em>+1) l&rsquo;est aussi.<\/li><li>C&rsquo;est le <em>principe de r\u00e9currence forte<\/em>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement par r\u00e9currence<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On consid\u00e8re la suite \\((u_n)\\) d\u00e9finie par :$$\\begin{cases}u_0=\\frac{1}{2}\\\\u_{n+1}=\\frac{1}{1+u_n}\\end{cases}$$On peut d\u00e9montrer par r\u00e9currence que pour tout entier naturel <em>n<\/em>, \\(0 &lt; u_n &lt; 1\\) (on va noter P(<em>n<\/em>) cette propri\u00e9t\u00e9). En effet:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li><em>Initialisation<\/em>: pour <em>n<\/em> = 0, on a bien \\(0 &lt; u_n &lt; 1\\);<\/li><li><em>H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/em>: on suppose que pour un entier <em>k<\/em> &gt; 0, \\(0 &lt; u_k &lt; 1\\). Alors:$$\\begin{align}0 &lt; u_k &lt; 1 &amp; \\iff 1 &lt; u_k + 1 &lt; 2\\\\ &amp; \\iff \\frac{1}{2} &lt; \\frac{1}{1+u_k} &lt; \\frac{1}{1} \\\\&amp; \\iff 0 &lt; u_{k+1} &lt; 1\\end{align}$$Ainsi, dire que P(<em>k<\/em>) est vraie implique (\u00e9quivaut m\u00eame ! mais peu importe car seule l&rsquo;implication compte) que P(<em>k<\/em>+1) l&rsquo;est aussi.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut alors conclure que P(<em>n<\/em>) est vraie.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement par disjonction de cas<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement par disjonction de cas<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce principe consiste \u00e0 d\u00e9montrer une propri\u00e9t\u00e9 en \u00e9tudiant chaque cas possible.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple du raisonnement par disjonction de cas<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e9montrons que le nombre \\(A_n=n(2n+1)(7n+1)\\) est toujours divisible par 6, quelle que soit la valeur de l&rsquo;entier <em>n<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous allons d&rsquo;abord faire une disjonction de cas sur la parit\u00e9 de <em>n<\/em> pour d\u00e9montrer que \\(A_n\\) est pair.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Si <em>n<\/em> est pair, pas de soucis, \\(A_n\\) l&rsquo;est aussi comme produit d&rsquo;un nombre pair par deux autres nombres entiers.<\/li><li>Si <em>n<\/em> est impair, alors 7<em>n<\/em>+1 est pair. En effet, posons <em>n<\/em> = 2<em>k<\/em> + 1. On a alors:$$7n+1=7(2k+1)+1=14k+8=2(7k+4).$$<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons vu tous les cas possibles de <em>n<\/em> concernant sa parit\u00e9 et dans chaque cas, \\(A_n\\) est pair.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous allons maintenant faire une disjonction de cas sur la divisibilit\u00e9 de <em>n<\/em> par 3 pour d\u00e9montrer que \\(A_n\\) est divisible par 3. Selon ce crit\u00e8re, <em>n<\/em> peut s&rsquo;\u00e9crire sous la forme 3<em>k<\/em> (s&rsquo;il est multiple de 3), 3<em>k<\/em>+1 ou 3<em>k<\/em> + 2 (il n&rsquo;y a pas d&rsquo;autres possibilit\u00e9s).<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Si <em>n<\/em> est divisible par 3, alors \\(A_n\\) aussi (comme produit d&rsquo;un nombre divisible par 3 et de deux nombres entiers).<\/li><li>Si <em>n<\/em> = 3<em>k<\/em> + 1, alors 2<em>n<\/em> + 1 = 2(3k+1) + 1 = 6<em>k<\/em> + 3 = 3(2<em>k<\/em> + 1), ce qui signifie que \\(A_n\\) admet un facteur divisible par 3, et donc qu&rsquo;il est lui-m\u00eame divisible par 3.<\/li><li>Si <em>n<\/em> = 3<em>k<\/em> + 2, alors 7<em>n<\/em> + 1 = 21<em>k<\/em> +15 = 3(7<em>k<\/em> + 5), et m\u00eame conclusion.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ainsi, \\(A_n\\) est divisible par 3.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme \\(A_n\\) est divisible par 2 et par 3, il l&rsquo;est par 6 (car 2 et 3 sont premiers entre eux).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement par contrapos\u00e9e: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement par contrapos\u00e9e: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour d\u00e9montrer une implication de la forme \\(P \\Rightarrow Q\\), on peut d\u00e9montrer que \\(\\text{non }Q \\Rightarrow \\text{non} P\\).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement par contrapos\u00e9e<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e9montrons que si \\(2^n-1\\) est un nombre premier alors <em>n<\/em> est premier.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour cela, on va d\u00e9monter la contrapos\u00e9e, \u00e0 savoir que si <em>n<\/em> <strong>n&rsquo;est pas<\/strong> premier alors \\(2^n-1\\)  n&rsquo;est pas premier.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si <em>n<\/em> n&rsquo;est pas premier alors il s&rsquo;\u00e9crit sous la forme <em>n<\/em> = <em>pq<\/em>, o\u00f9 <em>p<\/em> et <em>q<\/em> sont diff\u00e9rents de 1 et <em>n<\/em>. on a alors:$$\\begin{align}2^n-1 &amp; = 2^{pq}-1\\\\&amp; = \\big(2^p-1\\big)\\big[2^{(q-1)p} + 2^{(q-2)p} + \\cdots + 1 \\big] \\end{align}$$Cette derni\u00e8re \u00e9galit\u00e9 signifie que \\(2^n-1\\) n&rsquo;est pas premier car il peut se d\u00e9composer en produit de facteurs. CQFD.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Raisonnement par l&rsquo;absurde: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Le principe du raisonnement par l&rsquo;absurde: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour d\u00e9montrer par l&rsquo;absurde qu&rsquo;une propri\u00e9t\u00e9 P est vraie, on peut supposer qu&rsquo;elle est fausse et en d\u00e9duire quelque chose d&rsquo;absurde (du genre 1=2). Cela suffit pour d\u00e9montrer que P est vraie.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemple de raisonnement par l&rsquo;absurde: un autre des raisonnements math\u00e9matiques importants<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut d\u00e9montrer ainsi que \\(\\sqrt2\\) est un nombre irrationnel, c&rsquo;est-\u00e0-dire un nombre qui ne peut pas s&rsquo;\u00e9crire comme une fraction o\u00f9 le num\u00e9rateur et le d\u00e9nominateur sont tous les deux entiers.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supposons donc le contraire de ce que l&rsquo;on veut d\u00e9montrer: supposons que \\(\\sqrt{2}=\\frac{p}{q}\\), avec <em>p<\/em> et <em>q<\/em> entiers de sorte que la fraction soit irr\u00e9ductible.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En \u00e9levant au carr\u00e9, on obtient:$$\\big(\\sqrt2\\big)^2=\\frac{p^2}{q^2}$$soit:$$2=\\frac{p^2}{q^2}.$$Ainsi, $$p^2=2q^2.$$Comme <em>p<\/em> et <em>q<\/em> sont premiers entre eux (car la fonction est irr\u00e9ductible), cela signifie que <em>p<\/em>\u00b2 est pair, et donc que <em>p<\/em> aussi et s&rsquo;\u00e9crit alors <em>p<\/em> = 2<em>k<\/em> (o\u00f9 <em>k<\/em> est un entier).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut alors \u00e9crire:$$\\begin{align}p^2=2q^2 &amp; \\iff 4k^2=2q^2\\\\&amp;\\iff 2k^2=q^2 \\end{align}$$ce qui signifie que <em>q<\/em> est aussi pair&#8230; ce qui est contradictoire avec notre hypoth\u00e8se selon laquelle <em>p<\/em> et <em>q<\/em> sont premiers entre eux (et ne doivent donc pas avoir de diviseurs communs).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme nous arrivons \u00e0 une absurdit\u00e9, cela signifie que notre hypoth\u00e8se de d\u00e9part est fausse et donc que \\(\\sqrt2\\) ne peut pas s&rsquo;\u00e9crire sous la forme d&rsquo;une fraction.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si les raisonnements vous plaisent, jetez un coup d\u2019\u0153il sur cet article : <a href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2018\/08\/21\/demontrer-une-absurdite-mathematique\/\">Absurdit\u00e9 math\u00e9matique : d\u00e9montrer l\u2019impossible<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Il existe diff\u00e9rents types de raisonnements math\u00e9matiques. 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