Nous allons voir dans cet article ce qu’est la propri\u00e9t\u00e9 du roi et l’utiliser dans un calcul d’une int\u00e9grale.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Au menu sur cette page...<\/p>\nToggle<\/span><\/path><\/svg><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/a><\/span><\/div>\nPropri\u00e9t\u00e9 du roi: \u00e9nonc\u00e9 et d\u00e9monstrations<\/a>Enonc\u00e9 de la propri\u00e9t\u00e9 du roi<\/a><\/li>D\u00e9monstration par changement de variable affine<\/a><\/li>D\u00e9monstration niveau Terminale, enseignement de sp\u00e9cialit\u00e9<\/a><\/li><\/ul><\/li>Application de la propri\u00e9t\u00e9 du roi au calcul d’une int\u00e9grale<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<\/span>Propri\u00e9t\u00e9 du roi: \u00e9nonc\u00e9 et d\u00e9monstrations<\/span><\/h2>\n\n\n\n<\/span>Enonc\u00e9 de la propri\u00e9t\u00e9 du roi<\/span><\/h3>\n\n\n\nOn peut \u00e9noncer la propri\u00e9t\u00e9 du roi ainsi:<\/p>\n\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi><\/mrow>\\int_a^b f(x)\\text{d}x=\\int_a^bf(a+b-x)\\text{d}x<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<\/span>D\u00e9monstration par changement de variable affine<\/span><\/h3>\n\n\n\nCette d\u00e9monstration repose sur un changement de variable affine (hors programme du lyc\u00e9e).<\/p>\n\n\n\nOn pose \\(u = a+b-x\\), donc \\(x = a+b-u\\) et \\(\\text{d}x=-\\text{d}u\\). On a de plus:<\/p>\n\n\n\nu<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>b<\/mi><\/mspace>et<\/mtext><\/mspace>u<\/mi>(<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>a<\/mi>.<\/mi><\/mrow>u(a)=b\\quad\\text{et}\\quad u(b)=a.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn a alors:<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi><\/mstyle><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>b<\/mi>a<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>u<\/mi>)<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>d<\/mtext>u<\/mi>)<\/mo><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>u<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>u<\/mi><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>.<\/mi><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{array}{rl}\n\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\text{d}x & = \\displaystyle\\int_b^a f(a+b-u)\\big(-\\text{d}u\\big)\\\\\n& = \\displaystyle\\int_a^b f(a+b-u)\\text{d}u\\\\\n& = \\displaystyle\\int_a^b f(a+b-x)\\text{d}x.\n\\end{array}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<\/span>D\u00e9monstration niveau Terminale, enseignement de sp\u00e9cialit\u00e9<\/span><\/h3>\n\n\n\nPosons F<\/em>(x<\/em>) une primitive de f<\/em>(x<\/em>). Alors,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>.<\/mi><\/mrow>\\int_a^b f(x)\\text{d}x = F(b)-F(a).<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n\\(f(a+b-x)\\) a pour primitive \\(-F(a+b-x)\\). En effet, pour calculer la d\u00e9riv\u00e9e de -F<\/em>(a+b-x<\/em>), il faut consid\u00e9rer cette fonction comme de la forme –F<\/em>(u<\/em>) avec u<\/em> = a<\/em>+b<\/em>–x<\/em>, et donc u<\/em>‘ = -1.<\/p>\n\n\n\nAlors,$$\\big(-F(a+b-x)\\big)’ = -u’ \\times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$<\/p>\n\n\n\nAinsi,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>
On peut \u00e9noncer la propri\u00e9t\u00e9 du roi ainsi:<\/p>\n\n\n\n
\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi><\/mrow>\\int_a^b f(x)\\text{d}x=\\int_a^bf(a+b-x)\\text{d}x<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<\/span>D\u00e9monstration par changement de variable affine<\/span><\/h3>\n\n\n\nCette d\u00e9monstration repose sur un changement de variable affine (hors programme du lyc\u00e9e).<\/p>\n\n\n\nOn pose \\(u = a+b-x\\), donc \\(x = a+b-u\\) et \\(\\text{d}x=-\\text{d}u\\). On a de plus:<\/p>\n\n\n\nu<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>b<\/mi><\/mspace>et<\/mtext><\/mspace>u<\/mi>(<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>a<\/mi>.<\/mi><\/mrow>u(a)=b\\quad\\text{et}\\quad u(b)=a.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn a alors:<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi><\/mstyle><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>b<\/mi>a<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>u<\/mi>)<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>d<\/mtext>u<\/mi>)<\/mo><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>u<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>u<\/mi><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mrow><\/mtd>=<\/mo>\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>.<\/mi><\/mstyle><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{array}{rl}\n\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\text{d}x & = \\displaystyle\\int_b^a f(a+b-u)\\big(-\\text{d}u\\big)\\\\\n& = \\displaystyle\\int_a^b f(a+b-u)\\text{d}u\\\\\n& = \\displaystyle\\int_a^b f(a+b-x)\\text{d}x.\n\\end{array}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<\/span>D\u00e9monstration niveau Terminale, enseignement de sp\u00e9cialit\u00e9<\/span><\/h3>\n\n\n\nPosons F<\/em>(x<\/em>) une primitive de f<\/em>(x<\/em>). Alors,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>.<\/mi><\/mrow>\\int_a^b f(x)\\text{d}x = F(b)-F(a).<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n\\(f(a+b-x)\\) a pour primitive \\(-F(a+b-x)\\). En effet, pour calculer la d\u00e9riv\u00e9e de -F<\/em>(a+b-x<\/em>), il faut consid\u00e9rer cette fonction comme de la forme –F<\/em>(u<\/em>) avec u<\/em> = a<\/em>+b<\/em>–x<\/em>, et donc u<\/em>‘ = -1.<\/p>\n\n\n\nAlors,$$\\big(-F(a+b-x)\\big)’ = -u’ \\times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$<\/p>\n\n\n\nAinsi,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>
Cette d\u00e9monstration repose sur un changement de variable affine (hors programme du lyc\u00e9e).<\/p>\n\n\n\n
On pose \\(u = a+b-x\\), donc \\(x = a+b-u\\) et \\(\\text{d}x=-\\text{d}u\\). On a de plus:<\/p>\n\n\n\n
On a alors:<\/p>\n\n\n\n
Posons F<\/em>(x<\/em>) une primitive de f<\/em>(x<\/em>). Alors,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>.<\/mi><\/mrow>\\int_a^b f(x)\\text{d}x = F(b)-F(a).<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n\\(f(a+b-x)\\) a pour primitive \\(-F(a+b-x)\\). En effet, pour calculer la d\u00e9riv\u00e9e de -F<\/em>(a+b-x<\/em>), il faut consid\u00e9rer cette fonction comme de la forme –F<\/em>(u<\/em>) avec u<\/em> = a<\/em>+b<\/em>–x<\/em>, et donc u<\/em>‘ = -1.<\/p>\n\n\n\nAlors,$$\\big(-F(a+b-x)\\big)’ = -u’ \\times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$<\/p>\n\n\n\nAinsi,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>
\\(f(a+b-x)\\) a pour primitive \\(-F(a+b-x)\\). En effet, pour calculer la d\u00e9riv\u00e9e de -F<\/em>(a+b-x<\/em>), il faut consid\u00e9rer cette fonction comme de la forme –F<\/em>(u<\/em>) avec u<\/em> = a<\/em>+b<\/em>–x<\/em>, et donc u<\/em>‘ = -1.<\/p>\n\n\n\nAlors,$$\\big(-F(a+b-x)\\big)’ = -u’ \\times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$<\/p>\n\n\n\nAinsi,<\/p>\n\n\n\n\u222b<\/mo>a<\/mi>b<\/mi><\/msubsup>f<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>d<\/mtext>x<\/mi>=<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>b<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>\u2212<\/mo>F<\/mi>(<\/mo>a<\/mi>+<\/mo>b<\/mi>\u2212<\/mo>a<\/mi>)<\/mo>
Alors,$$\\big(-F(a+b-x)\\big)’ = -u’ \\times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$<\/p>\n\n\n\n
Ainsi,<\/p>\n\n\n\n