Dans cet article, nous allons trouver la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de la suite de Fibonacci, puis montrer une \u00e9galit\u00e9 toute mignonne au point qu’on aura envie de la blottir dans nos bras comme un petit chaton…<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Au menu sur cette page...<\/p>\nToggle<\/span><\/path><\/svg><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/a><\/span><\/div>\nFonction g\u00e9n\u00e9ratrice de la suite de Fibonacci: d\u00e9finition<\/a><\/li>Application<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<\/span>Fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de la suite de Fibonacci: d\u00e9finition<\/span><\/h2>\n\n\n\nAvant tout, permettez moi de vous rappeler ce qu’est la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice<\/em> d’une suite \\((a_n)\\). C’est la fonction \u00e9gale \u00e0: <\/p>\n\n\n\n\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/munder><\/mrow>a<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow>\\sum_{n\\geqslant k} a_nx^n<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\no\u00f9 k<\/em> est le premier entier pour lequel \\(a_n\\) est d\u00e9fini.<\/p>\n\n\n\nDonc dans notre cas, la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice est:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup><\/mspace>,<\/mo><\/mspace>\u2200<\/mi>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1.<\/mn><\/mrow>G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^n\\quad,\\quad \\forall n\\geqslant0,\\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\\ F_0=0,\\ F_1=1.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn a alors, en multipliant par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow>xG(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+1}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\net en multipliant encore par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_n x^n – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>
Avant tout, permettez moi de vous rappeler ce qu’est la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice<\/em> d’une suite \\((a_n)\\). C’est la fonction \u00e9gale \u00e0: <\/p>\n\n\n\n\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/munder><\/mrow>a<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup><\/mrow>\\sum_{n\\geqslant k} a_nx^n<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\no\u00f9 k<\/em> est le premier entier pour lequel \\(a_n\\) est d\u00e9fini.<\/p>\n\n\n\nDonc dans notre cas, la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice est:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup><\/mspace>,<\/mo><\/mspace>\u2200<\/mi>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1.<\/mn><\/mrow>G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^n\\quad,\\quad \\forall n\\geqslant0,\\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\\ F_0=0,\\ F_1=1.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn a alors, en multipliant par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow>xG(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+1}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\net en multipliant encore par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_n x^n – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>
o\u00f9 k<\/em> est le premier entier pour lequel \\(a_n\\) est d\u00e9fini.<\/p>\n\n\n\nDonc dans notre cas, la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice est:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup><\/mspace>,<\/mo><\/mspace>\u2200<\/mi>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>F<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>0<\/mn>,<\/mo> <\/mtext>F<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>1.<\/mn><\/mrow>G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^n\\quad,\\quad \\forall n\\geqslant0,\\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\\ F_0=0,\\ F_1=1.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn a alors, en multipliant par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow>xG(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+1}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\net en multipliant encore par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_n x^n – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>
Donc dans notre cas, la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice est:<\/p>\n\n\n\n
On a alors, en multipliant par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow>xG(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+1}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\net en multipliant encore par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_n x^n – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>
et en multipliant encore par x<\/em>:<\/p>\n\n\n\nx<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>\u2211<\/mo>n<\/mi>\u2a7e<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/munder><\/mrow>F<\/mi>n<\/mi><\/msub>x<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>.<\/mi><\/mrow>G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\\sum_{n\\geqslant 0} F_n x^n – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \\sum_{n\\geqslant 0}F_nx^{n+2}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOn peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\nG<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>x<\/mi>G<\/mi>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo>\u2212<\/mo>
On en d\u00e9duit alors que:<\/p>\n\n\n\n
On peut aussi l’\u00e9crire de la mani\u00e8re suivante, pour se ramener \u00e0 \\(x^n\\) dans la somme:<\/p>\n\n\n\n