\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{\\text{d}x}{1+x^2}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nComment la calculer ?<\/p>\n\n\n\n
Cette int\u00e9grale est impropre<\/em>, puisque ses bornes sont infinies. Pourtant, elle converge : lorsque x<\/em> devient grand, la fonction \\(x \\mapsto \\frac{1}{1+x^2} \\) se comporte comme \\( x \\mapsto \\frac{1}{x^2} \\).<\/p>\n\n\n\nOn pourrait bien s\u00fbr utiliser une primitive de cette fonction, qui est arctan(x<\/em>), mais comment ferions nous si on rempla\u00e7ait 1+x<\/em>\u00b2 par n’importe quel autre polyn\u00f4me, o\u00f9 si l’on faisait intervenir un cosinus ?<\/p>\n\n\n\nC’est pr\u00e9cis\u00e9ment l\u00e0 que les nombres complexes<\/strong> vont nous \u00eatre utiles. En transformant une int\u00e9grale r\u00e9elle en une int\u00e9grale dans le plan complexe, le th\u00e9or\u00e8me des r\u00e9sidus de Cauchy<\/strong> va nous permettre d’obtenir des r\u00e9sultats qui semblent, au premier abord, assez surprenants.<\/p>\n\n\n\n<\/span>Une id\u00e9e surprenante : passer par les nombres complexes<\/span><\/h3>\n\n\n\nConsid\u00e9rons la fonction complexe:<\/p>\n\n\n\n
f<\/mi>(<\/mo>z<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>1<\/mn>1<\/mn>+<\/mo>z<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mrow>f(z)=\\frac{1}{1+z^2}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nsur le demi-plan sup\u00e9rieur (par exemple). En effet, cette fonction admet deux p\u00f4les (valeurs de z<\/em> qui annulent le d\u00e9nominateur): i<\/em> et –i<\/em>. Le fait de ne consid\u00e9rer cette fonction que sur le demi-plan sup\u00e9rieur va faciliter les calculs \u00e0 venir.<\/p>\n\n\n\nFermons maintenant l’axe des r\u00e9els \u00e0 l’aide d’un grand demi-cercle. Il reste maintenant \u00e0 v\u00e9rifier que l’int\u00e9grale sur le grand demi-cercle dispara\u00eet lorsque son rayon tend vers l’infini. Dans notre exemple, c’est bien le cas, car f<\/em>(z<\/em>) d\u00e9cro\u00eet comme \\(\\frac{1}{|z|^2} \\), tandis que la longueur du demi-cercle ne cro\u00eet que comme \u2223z<\/em>\u2223.<\/p>\n\n\n\n
\n\t\t\t\n\t\t\t\tLe th\u00e9or\u00e8me des r\u00e9sidus stipule alors que:<\/p>\n\n\n\n
\u222b<\/mo>\u2212<\/mo>\u221e<\/mi><\/mrow>+<\/mo>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup>d<\/mtext>x<\/mi><\/mrow>1<\/mn>+<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>2<\/mn>i<\/mi>\u03c0<\/mi>\u2211<\/mo>Res<\/mtext>(<\/mo>f<\/mi>,<\/mo>z<\/mi>k<\/mi><\/msub>)<\/mo>=<\/mo>2<\/mn>i<\/mi>\u03c0<\/mi>\u00d7<\/mo>Res<\/mtext>(<\/mo>f<\/mi>,<\/mo>i<\/mi>)<\/mo>.<\/mi><\/mrow>\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{\\text{d}x}{1+x^2} = 2i\\pi\\sum\\text{Res}(f,z_k) = 2i\\pi \\times \\text{Res}(f,i).<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nOr,<\/p>\n\n\n\n
Res<\/mtext>(<\/mo>f<\/mi>,<\/mo>i<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>lim<\/mi>z<\/mi>\u2192<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/munder>\u2061<\/mo>(<\/mo>z<\/mi>\u2212<\/mo>i<\/mi>)<\/mo>f<\/mi>(<\/mo>z<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>lim<\/mi>z<\/mi>\u2192<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/munder>\u2061<\/mo><\/mspace>1<\/mn>z<\/mi>+<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>1<\/mn>2<\/mn>i<\/mi><\/mrow><\/mfrac>.<\/mi><\/mrow>\\text{Res}(f,i)=\\lim\\limits_{z\\to i}(z-i)f(z) = \\lim\\limits_{z\\to i}\\frac{1}{z+i}=\\frac{1}{2i}.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\nAinsi,<\/p>\n\n\n\n
\u222b<\/mo>\u2212<\/mo>\u221e<\/mi><\/mrow>+<\/mo>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup>d<\/mtext>x<\/mi><\/mrow>1<\/mn>+<\/mo>x<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>2<\/mn>i<\/mi>\u03c0<\/mi>\u00d7<\/mo>1<\/mn>2<\/mn>i<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u03c0<\/mi>.<\/mi><\/mrow>\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{\\text{d}x}{1+x^2} = 2i\\pi \\times \\frac{1}{2i} = \\pi.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n<\/span>Un autre calcul d’int\u00e9grale avec cosinus<\/span><\/h2>\n\n\n\nConsid\u00e9rons maintenant l’int\u00e9grale:<\/p>\n\n\n\n
\u222b<\/mo>0<\/mn>2<\/mn>\u03c0<\/mi><\/mrow><\/msubsup>d<\/mtext>x<\/mi><\/mrow>2<\/mn>+<\/mo>cos<\/mi>\u2061<\/mo><\/mrow>(<\/mo>x<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mfrac>