Un abonn\u00e9 de mathweb.fr m’a demand\u00e9 un jour si je pouvais l’aider \u00e0 d\u00e9montrer par r\u00e9currence que$$P_n(x)=(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$$\u00e9tait divisible par$$Q(x)=x^2+x+1$$quel que soit l’entier naturel \\(n\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
J’ai essay\u00e9 et j’avoue m’\u00eatre confront\u00e9 \u00e0 une difficult\u00e9 que je n’avais pas mesur\u00e9e. Je me suis alors demand\u00e9 pourquoi s’acharner \u00e0 d\u00e9montrer par r\u00e9currence un r\u00e9sultat aussi simple \u00e0 d\u00e9montrer autrement…<\/p>\n\n\n\n
\\(Q(x)\\) admet deux racines complexes, que l’on note \\(j=\\text{e}^{\\text{i}\\frac{2\\pi}{3}}\\) et \\(\\overline{j}\\). Ainsi,$$j^2+j+1=0$$et donc:$$j+1=-j^2.$$De plus, $$j^3 = 1.$$Ainsi,$$\\begin{align}P_n(j) & = (j+1)^{2n+1} + j^{n+2}\\\\&=(-j^2)^{2n+1}+j^{n+2}\\\\&=(-1)^{2n+1}j^{4n+2}+j^{n+2}\\\\&=j^{n+2}(1-j^{3n})\\\\&=j^{n+2}(1-(j^3)^n)\\\\&=0.\\end{align}$$De plus, $$P_n(\\overline{j})=\\overline{P_n(j)}=0.$$<\/p>\n\n\n\n
On vient alors de d\u00e9montrer que:$$P_n(j)=P_n(\\overline{j})=0$$et donc que \\(P_n(x)\\) est divisible par \\((x-j)(x-\\overline{j})=Q(x)\\) pour tout r\u00e9el \\(x\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Un abonn\u00e9 de mathweb.fr m’a demand\u00e9 un jour si je pouvais l’aider \u00e0 d\u00e9montrer par r\u00e9currence que$$P_n(x)=(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$$\u00e9tait divisible par$$Q(x)=x^2+x+1$$quel que soit l’entier naturel \\(n\\).<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":7726,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[21,6],"tags":[171,163,80],"class_list":["post-2026","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-enseignement","category-mathematiques","tag-divisibilite","tag-nombres-complexes","tag-polynome"],"yoast_head":"\n