Je suis tomb\u00e9 sur une vid\u00e9o dans laquelle on demande de r\u00e9soudre l’\u00e9quation:$$4^x+6^x=9^x$$ d’inconnue r\u00e9elle \\(x\\). Cette \u00e9quation, au demeurant compliqu\u00e9e, n’est en d\u00e9finitive pas si compliqu\u00e9e \u00e0 r\u00e9soudre que \u00e7a… mais comme toujours en math\u00e9matiques, tout d\u00e9pend de l’intuition que l’on a face \u00e0 un probl\u00e8me jamais rencontr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Voici la r\u00e9solution: $$\\begin{align} 4^x+6^x=9^x & \\iff 1 + \\frac{6^x}{4^x} = \\frac{9^x}{4^x}\\\\ & \\iff 1+ \\left(\\frac{6}{4}\\right)^x = \\left(\\frac{9}{4}\\right)^x\\\\ & \\iff 1+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^x = \\left[\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2\\right]^x\\\\&\\iff 1+ \\left(\\frac{3}{2}\\right)^x = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2x} \\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n
En posant \\(X = \\displaystyle\\left(\\frac{3}{2}\\right)^x \\), on obtient l’\u00e9quation:$$X^2-X-1=0$$dont les solutions sont:$$X_1=\\frac{1-\\sqrt5}{2}$$et$$X_2=\\frac{1+\\sqrt5}{2}.$$Or, \\(X_1<0\\) ce qui l’exclut de l’ensemble des solutions car \\(X = \\displaystyle\\left(\\frac{3}{2}\\right)^x > 0\\). Ainsi,$$\\begin{align} X =\\frac{1+\\sqrt5}{2} & \\iff \\left(\\frac{3}{2}\\right)^x = \\frac{1+\\sqrt5}{2} \\\\&\\iff \\ln \\left[ \\left(\\frac{3}{2}\\right)^x\\right] = \\ln\\left(\\frac{1+\\sqrt5}{2}\\right)\\\\&\\iff x\\ln\\left(\\frac{3}{2}\\right) = \\ln\\left(\\frac{1+\\sqrt5}{2}\\right)\\\\&\\iff x=\\frac{ \\ln\\left(\\frac{1+\\sqrt5}{2}\\right) }{\\ln \\left(\\frac{3}{2}\\right) }\\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n
Voici la vid\u00e9o dont je parlais au d\u00e9but:<\/p>\n\n\n\n