{"id":2113,"date":"2020-03-04T15:19:19","date_gmt":"2020-03-04T14:19:19","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/?p=2113"},"modified":"2020-03-04T15:19:20","modified_gmt":"2020-03-04T14:19:20","slug":"un-probleme-dolympiade","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/03\/04\/un-probleme-dolympiade\/","title":{"rendered":"Un probl\u00e8me d’olympiade"},"content":{"rendered":"\n

Je continue ma s\u00e9rie des probl\u00e8mes qui sont tomb\u00e9s dans des concours math\u00e9matiques avec celui-ci, propos\u00e9 aux International Mathematical Olympiad<\/em> (IMO).<\/p>\n\n\n\n

Trouver toutes les fonctions f<\/em> de \\(\\mathbb{Z}\\) dans \\(\\mathbb{Z}\\) telles que:$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Dans un premier temps, on peut prendre a<\/em> = 0, ce qui donne:$$f(0)+2f(b)=f(f(b)),$$que l’on peut \u00e9crire (pour que cela nous soit plus familier) de la mani\u00e8re suivante:$$f(0)+2f(x)=f(f(x)) .$$Ensuite, on peut prendre a<\/em> = 1, ce qui donne:$$f(2)+2f(b)=f(f(1+b)).$$En prenant la premi\u00e8re \u00e9galit\u00e9 pour x<\/em> = 1 + b<\/em>, cela donne:$$f(2)+2f(b)=f(0)+2f(1+b),$$que l’on peut aussi \u00e9crire, en prenant b<\/em> = n<\/em>:$$\\frac{f(2)-f(0)}{2}=f(1+n)-f(n).$$Comme f<\/em> est une fonction \u00e0 variable enti\u00e8re, on peut aussi la qualifier de suite num\u00e9rique (u)<\/em> et dans ce cas, on a:$$u_{n+1}-u_n= \\frac{f(2)-f(0)}{2} .$$<\/p>\n\n\n\n

Mais dites-donc ! Ne serait-ce pas l\u00e0 une suite arithm\u00e9tique ? Mais si puisque \\( \\frac{f(2)-f(0)}{2} \\) est une constante ! On peut alors \u00e9crire:$$u_n=u_0+nr$$o\u00f9 r<\/em> est la raison de la suite. Reprenons alors la d\u00e9finition de la fonction f<\/em> appliqu\u00e9e \u00e0 la suite:$$\\begin{align} & f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) \\\\ \\iff & u_0+(2a)r + 2(u_0+br) = u_0 + (u_0 + (a+b)r )r\\\\ \\iff & 3u_0 + 2(a+b)r = (a+b)r^2 + (r+1)u_0\\end{align}$$Comme cette derni\u00e8re \u00e9galit\u00e9 est vraie pour tous entiers a<\/em> et b<\/em>, cela signifie que les coefficients de (a+b<\/em>) sont \u00e9gaux et que les constantes sont \u00e9gales:$$\\begin{cases}2r & = r^2\\\\3u_0 & =(r+1)u_0\\end{cases}$$Il y a alors deux valeurs possibles de r<\/em>:<\/p>\n\n\n\n