<\/span><\/h2>\n\n\n\nDes deux \u00e9tapes que nous venons de voir, nous pouvons \u00e9crire:$$\\begin{align}\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{n^2} & =\\frac{4}{3} \\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{(2n-1)^2}\\\\ & = \\frac{4}{3}\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(2n+1)^2}\\\\ & = \\frac{4}{3} \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\int_1^0 x^{2n}\\ln(x) \\text{d}x \\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\ln(x) \\sum_{n=0}^{+\\infty} x^{2n} \\text{d}x\\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n
La somme qui appara\u00eet dans l’int\u00e9grale est une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique:$$\\sum_{n=0}^{p} x^{2n} = \\frac{1-x^{2p}}{1-x^2}.$$Or, pour \\(x\\in[0;1[\\), on a :$$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\sum_{n=0}^{p} x^{2n} = \\frac{1}{1-x^2}.$$En effet, \\(\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}(x^{2n})=0\\) pour \\(0 \\leqslant x < 1\\).<\/p>\n\n\n\n
On peut alors \u00e9crire abusivement (le cas o\u00f9 x<\/em> = 1 est probl\u00e9matique en th\u00e9orie car la convergence de la s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique n’est pas av\u00e9r\u00e9e, mais on en fait f\u00eet pour le moment):$$\\begin{align}\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{n^2} & =\\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{\\ln(x)}{1-x^2} \\text{d}x\\end{align}.$$<\/p>\n\n\n\n<\/span>\u00c9tape 4<\/span><\/h2>\n\n\n\nComme vous pouvez vous le dire, cette derni\u00e8re int\u00e9grale n’est pas sympathique… On va donc la bidouiller! On va d’abord remarquer que:$$\\ln(x^2) = \\lim\\limits_{y\\to+\\infty}\\ln\\left(\\frac{1+x^2y^2}{1+y^2}\\right).$$Il suffit d’imaginer que x<\/em> est une constante et que y<\/em> est la variable; la fraction est alors une fonction rationnelle dont la limite en l’infini est le rapport des termes de plus haut degr\u00e9, donc \\(\\frac{x^2y^2}{y^2}\\), \u00e0 savoir x<\/em>\u00b2.<\/p>\n\n\n\nCeci \u00e9tant dit, on peut alors \u00e9crire:$$\\begin{align}\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{n^2} & =\\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\left(\\frac{1}{2}\\ln(x^2)-\\ln(1)\\right) \\text{d}x\\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\frac{1}{2}\\left[\\ln\\left(\\frac{1+x^2y^2}{1+y^2}\\right)\\right]_0^{+\\infty} \\text{d}x \\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\frac{1}{2}\\left[\\ln(1+x^2y^2)-\\ln(1+y^2)\\right]_0^{+\\infty} \\text{d}x \\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\frac{1}{2}\\int_0^{+\\infty}\\left(\\frac{2x^2y}{1+x^2y^2}-\\frac{2y}{1+y^2}\\right)\\text{d}y \\text{d}x \\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\int_0^{+\\infty}\\left(\\frac{x^2y}{1+x^2y^2}-\\frac{y}{1+y^2}\\right)\\text{d}y \\text{d}x\\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\int_0^{+\\infty}\\frac{x^2y(1+y^2) – y(1+x^2y^2)}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\ & = \\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\int_0^{+\\infty}\\frac{x^2y+x^2y^3 – y-x^2y^3}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_1^0 \\frac{1}{1-x^2}\\times\\int_0^{+\\infty}\\frac{y(x^2 – 1)}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_1^0 \\int_0^{+\\infty}\\frac{-y}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_0^1 \\int_0^{+\\infty}\\frac{y}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_0^1\\frac{y}{1+y^2} \\left(\\int_0^{+\\infty}\\frac{1}{1+x^2y^2}\\text{d}x\\right) \\text{d}y\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_0^1 \\int_0^{+\\infty}\\frac{y}{(1+x^2y^2)(1+y^2)}\\text{d}y \\text{d}x\\\\&=\\frac{4}{3} \\int_0^1\\frac{y}{1+y^2} \\left[\\frac{1}{y}\\arctan(xy)\\right]_0^1 \\text{d}y \\\\ &= \\frac{4}{3} \\int_0^1\\frac{\\arctan(y)}{1+y^2} \\text{d}y. \\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n
En posant \\(u=\\arctan(y)\\), on a \\(\\text{d}u=\\frac{1}{1+y^2}\\text{d}y\\) et:$$\\begin{align}\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{n^2} & =\\frac{4}{3}\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}u\\text{d}u\\\\&=\\frac{4}{3}\\times\\left[\\frac{u^2}{2}\\right]_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\\\&=\\frac{4}{3}\\times\\frac{\\pi^2}{8}\\\\& = \\frac{\\pi^2}{6}.\\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n
Facile non ?<\/p>\n\n\n\n
Bon, je vous avoue que je ne suis pas \u00e0 l’origine de ces calculs. Tout ceci est expliqu\u00e9 dans la vid\u00e9o :<\/p>\n\n\n\n
![\"application](\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/application-integration-parties-1.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n