{"id":3651,"date":"2020-09-28T13:53:40","date_gmt":"2020-09-28T11:53:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/?p=3651"},"modified":"2023-09-20T14:11:49","modified_gmt":"2023-09-20T12:11:49","slug":"raisonnement-par-recurrence","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/","title":{"rendered":"Raisonnement par r\u00e9currence"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le raisonnement par r\u00e9currence est l&rsquo;un des raisonnements les plus utiles en Terminale de sp\u00e9cialit\u00e9 Math\u00e9matiques en France.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"300\" src=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/raisonnement-par-recurrence.jpg\" alt=\"Raisonnement par r\u00e9currence\" class=\"wp-image-3652\" srcset=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/raisonnement-par-recurrence.jpg 400w, https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/raisonnement-par-recurrence-300x225.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_85 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-white ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Au menu sur cette page...<\/p>\n<span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a href=\"#\" class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" aria-label=\"Toggle Table of Content\"><span class=\"ez-toc-js-icon-con\"><span class=\"\"><span class=\"eztoc-hide\" style=\"display:none;\">Toggle<\/span><span class=\"ez-toc-icon-toggle-span\"><svg style=\"fill: #999;color:#999\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" class=\"list-377408\" width=\"20px\" height=\"20px\" viewBox=\"0 0 24 24\" fill=\"none\"><path d=\"M6 6H4v2h2V6zm14 0H8v2h12V6zM4 11h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2zM4 16h2v2H4v-2zm16 0H8v2h12v-2z\" fill=\"currentColor\"><\/path><\/svg><svg style=\"fill: #999;color:#999\" class=\"arrow-unsorted-368013\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" width=\"10px\" height=\"10px\" viewBox=\"0 0 24 24\" version=\"1.2\" baseProfile=\"tiny\"><path d=\"M18.2 9.3l-6.2-6.3-6.2 6.3c-.2.2-.3.4-.3.7s.1.5.3.7c.2.2.4.3.7.3h11c.3 0 .5-.1.7-.3.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7zM5.8 14.7l6.2 6.3 6.2-6.3c.2-.2.3-.5.3-.7s-.1-.5-.3-.7c-.2-.2-.4-.3-.7-.3h-11c-.3 0-.5.1-.7.3-.2.2-.3.5-.3.7s.1.5.3.7z\"\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/a><\/span><\/div>\n<nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Le_raisonnement_par_recurrence_en_image\" >Le raisonnement par r\u00e9currence en image<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Le_raisonnement_par_recurrence_formellement\" >Le raisonnement par r\u00e9currence formellement<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Le_raisonnement_par_recurrence_par_les_exemples\" >Le raisonnement par r\u00e9currence par les exemples<\/a><ul class='ez-toc-list-level-3' ><li class='ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Le_raisonnement_par_recurrence_propriete_degalite\" >Le raisonnement par r\u00e9currence : propri\u00e9t\u00e9 d&rsquo;\u00e9galit\u00e9<\/a><ul class='ez-toc-list-level-4' ><li class='ez-toc-heading-level-4'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Initialisation\" >Initialisation<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Heredite\" >H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Propriete_dinegalite\" >Propri\u00e9t\u00e9 d&rsquo;in\u00e9galit\u00e9<\/a><ul class='ez-toc-list-level-4' ><li class='ez-toc-heading-level-4'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Initialisation-2\" >Initialisation<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Heredite-2\" >H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Le_raisonnement_par_recurrence_etude_de_suites\" >Le raisonnement par r\u00e9currence : \u00e9tude de suites<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-11\" href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2020\/09\/28\/raisonnement-par-recurrence\/#Limportance_de_linitialisation\" >L&rsquo;importance de l&rsquo;initialisation<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Le_raisonnement_par_recurrence_en_image\"><\/span>Le raisonnement par r\u00e9currence en image<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ce raisonnement peut-\u00eatre visualis\u00e9 par des dominos qui tombent tous quand:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>le premier tombe,<\/li>\n\n\n\n<li>la chute d&rsquo;un domino quelconque entra\u00eene in\u00e9vitablement la chute du suivant.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est exactement comme cela que se passe la d\u00e9monstration. Il faut n\u00e9cessairement deux conditions : une condition initiale, et une implication.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Le_raisonnement_par_recurrence_formellement\"><\/span>Le raisonnement par r\u00e9currence formellement<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Je ne vais ici parler que de la r\u00e9currence simple (autrement appel\u00e9e <em>r\u00e9currence faible<\/em>, et qui est donc abord\u00e9e en Terminale Math\u00e9matiques de sp\u00e9cialit\u00e9). Il existe en effet une <em>r\u00e9currence forte<\/em> (voir <a href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/les-differents-types-de-raisonnements-en-mathematiques\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette page<\/a>), mais c&rsquo;est une autre histoire, bien que variant tr\u00e8s peu de la <em>r\u00e9currence faible<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rons une propri\u00e9t\u00e9 P(<em>n<\/em>) d\u00e9pendant d&rsquo;un entier <em>n<\/em> \u2265 0. Le principe de r\u00e9currence faible stipule que si: <\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>[initialisation]<\/strong> P(0) est vraie;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>[h\u00e9r\u00e9dit\u00e9]<\/strong>          pour tout entier <em>k<\/em> &gt; 0, si P(<em>k<\/em>) est vraie alors P(<em>k<\/em>+1) est vraie.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bien entendu, si P(0) n&rsquo;existe pas, on prend P(1) et non P(0).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Le_raisonnement_par_recurrence_par_les_exemples\"><\/span>Le raisonnement par r\u00e9currence par les exemples<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C&rsquo;est bien connu, rien ne vaut des exemples pour comprendre la th\u00e9orie&#8230;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Le_raisonnement_par_recurrence_propriete_degalite\"><\/span>Le raisonnement par r\u00e9currence : propri\u00e9t\u00e9 d&rsquo;\u00e9galit\u00e9<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous allons consid\u00e9rer la propri\u00e9t\u00e9 suivante:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P(<em>n<\/em>) : \\(1^2+2^2+3^2+\\cdots+(n-1)^2 + n^2 = \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\).<\/p>\n<cite>Somme des <em>n<\/em> carr\u00e9s des premiers entiers naturels.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous allons la d\u00e9montrer par r\u00e9currence.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Initialisation\"><\/span>Initialisation<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La premi\u00e8re \u00e9tape est de constater que cette propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour le premier entier <em>n<\/em> possible. Ici, c&rsquo;est <em>n<\/em> = 1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quand il s&rsquo;agit de d\u00e9montrer une \u00e9galit\u00e9, il faut calculer les deux membres s\u00e9par\u00e9ment et constater qu&rsquo;ils sont \u00e9gaux. Pour <em>n<\/em> = 1:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>le membre de gauche est: 1\u00b2 = 1;<\/li>\n\n\n\n<li>le membre de droite est: \\(\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\frac{1(1+1)(2\\times1+1)}{6}=\\frac{1\\times2\\times3}{6}=1\\).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On constate alors que les deux membres sont \u00e9gaux. Par cons\u00e9quent, l&rsquo;\u00e9galit\u00e9 est vraie pour <em>n<\/em> = 1. P(1) est donc vraie. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On dit alors que<em> l&rsquo;initialisation est r\u00e9alis\u00e9e<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-pullquote\"><blockquote><p>L&rsquo;initialisation, bien que tr\u00e8s souvent rapide, est indispensable ! Il ne faudra donc pas l&rsquo;oublier. Voir <a href=\"#importance\">cette section<\/a>.<\/p><\/blockquote><\/figure>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Heredite\"><\/span>H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une fois l&rsquo;initialisation r\u00e9alis\u00e9e, on va d\u00e9montrer que, pour <em>k<\/em>&gt;1, si P(<em>k<\/em>) est vraie, alors P(<em>k<\/em>+1) est aussi vraie.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On suppose donc que, pour un entier <em>k<\/em> &gt; 1, P(<em>k<\/em>) est vraie: c&rsquo;est l&rsquo;<em>hypoth\u00e8se de r\u00e9currence<\/em>. On suppose donc que l&rsquo;\u00e9galit\u00e9 suivante est vraie:$$1^2+2^2+3^2+\\cdots+(k-1)^2 + k^2 = \\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En s&rsquo;appuyant sur cette hypoth\u00e8se, on souhaite d\u00e9montrer que P(<em>k<\/em>+1) est vraie, c&rsquo;est-\u00e0-dire que:$$1^2+2^2+3^2+\\cdots+k^2 + (k+1)^2 = \\frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}$$c&rsquo;est-\u00e0-dire, apr\u00e8s simplification du membre de droite:$$1^2+2^2+3^2+\\cdots+k^2 + (k+1)^2 = \\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si on d\u00e9veloppe (<em>k<\/em>+2)(2<em>k<\/em>+3) dans le membre de droite, on obtient:$$1^2+2^2+3^2+\\cdots+k^2 + (k+1)^2 = \\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}.$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On va donc partir du membre de gauche et tenter d&rsquo;arriver \u00e0 l&rsquo;expression de droite. D&rsquo;apr\u00e8s l&rsquo;hypoth\u00e8se de r\u00e9currence (HR), on a :$$\\underbrace{1^2+2^2+3^2+\\cdots+k^2}_{(HR)} + (k+1)^2 = \\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$$et si on factorise par (<em>k<\/em> + 1) le membre de droite, on obtient : $$\\begin{align}1^2+2^2+3^2+\\cdots+k^2 + (k+1)^2 &amp; = (k+1)\\left[ \\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\\right]\\\\ &amp; = (k+1)\\left[ \\frac{k(2k+1)}{6} + \\frac{6(k+1)}{6}\\right]\\\\&amp;=(k+1)\\left[ \\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}\\right]\\\\&amp;=(k+1)\\left[ \\frac{2k^2+7k+6}{6} \\right]. \\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons bien obtenu l&rsquo;expression d\u00e9sir\u00e9e. Ainsi, l&rsquo;h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Par cons\u00e9quent, d&rsquo;apr\u00e8s le principe de r\u00e9currence, P(<em>n<\/em>) est vraie pour tout entier naturel <em>n<\/em> strictement positif.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriete_dinegalite\"><\/span>Propri\u00e9t\u00e9 d&rsquo;in\u00e9galit\u00e9<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Les in\u00e9galit\u00e9s sont l\u00e9g\u00e8rement plus compliqu\u00e9es \u00e0 d\u00e9montrer par r\u00e9currence car, vous allez le voir, on n&rsquo;obtient pas toujours imm\u00e9diatement ce que l&rsquo;on veut dans l&rsquo;h\u00e9r\u00e9dit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consid\u00e9rons l&rsquo;in\u00e9galit\u00e9 suivante:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour <em>x<\/em> &gt; 0, pour tout entier naturel <em>n<\/em> &gt; 1: \\((1+x)^n &gt; 1+nx.\\)<\/p>\n<cite>In\u00e9galit\u00e9 de Bernoulli.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e9montrons par r\u00e9currence sur <em>n<\/em> cette in\u00e9galit\u00e9 (cela signifie que le \u00ab\u00a0<em>x<\/em>\u00a0\u00bb sera consid\u00e9r\u00e9 comme une constante et que seul \u00ab\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u00bb sera variable).<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Initialisation-2\"><\/span>Initialisation<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le premier possible est <em> n<\/em> = 2. On regarde donc les deux membres de l&rsquo;in\u00e9galit\u00e9 s\u00e9par\u00e9ment pour <em>n<\/em> = 2:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>le membre de gauche est : \\((1+x)^2 = 1+2x+x^2\\)<\/li>\n\n\n\n<li>le membre de droite est : \\(1+2x\\)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>x<\/em> \u00e9tant strictement positif, on a bien : 1+2<em>x<\/em>+<em>x<\/em>\u00b2 &gt; 1+2<em>x<\/em>. L&rsquo;initialisation est alors r\u00e9alis\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Heredite-2\"><\/span>H\u00e9r\u00e9dit\u00e9<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h4>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supposons que pour un entier <em>k<\/em> &gt; 2, la propri\u00e9t\u00e9 soit  vraie, c&rsquo;est-\u00e0-dire que:$$(1+x)^k &gt; 1+kx.\\quad(HR)$$D\u00e9montrons alors qu&rsquo;elle est vraie pour <em>k<\/em> + 1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour cela, regardons le membre de gauche au rang <em>k<\/em> + 1 : $$(1+x)^{k+1} = (1+x)^k \\times (1+x).$$Si je l&rsquo;\u00e9cris ainsi, c&rsquo;est pour faire appara\u00eetre le membre de gauche de la propri\u00e9t\u00e9 au rang <em>k<\/em>. Comme \u00e7a, je peux me servir de l&rsquo;hypoth\u00e8se de r\u00e9currence (HR). En effet,$$\\begin{align}(1+x)^k &gt; 1+kx &amp; \\Rightarrow (1+x)^k\\times(1+x) &gt; (1+kx)(1+x)\\\\&amp; \\Rightarrow (1+x)^{k+1}&gt;1+(k+1)x+kx^2\\\\&amp;\\Rightarrow (1+x)^{k+1} &gt; 1+(k+1)x.\\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La derni\u00e8re in\u00e9galit\u00e9 est possible car 1 +(<em>k<\/em>+1)<em>x<\/em> + <em>kx<\/em>\u00b2 &gt; 1 + (<em>k<\/em>+1)<em>x<\/em>; en effet, <em>k<\/em>&gt;0 et <em>x<\/em>\u00b2&gt;0.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons alors d\u00e9montr\u00e9 l&rsquo;h\u00e9r\u00e9dit\u00e9. La propri\u00e9t\u00e9 est donc vraie pour tout <em>n<\/em>&gt;1.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Le_raisonnement_par_recurrence_etude_de_suites\"><\/span>Le raisonnement par r\u00e9currence : \u00e9tude de suites<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On retrouve tr\u00e8s souvent le raisonnement par r\u00e9currence dans les \u00e9tudes des suites de la forme \\(u_{n+1} = f(u_n)\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Prenons l&rsquo;exemple de \\(f(x)=\\frac{5-4x}{1-x}\\), que l&rsquo;on va d\u00e9finir sur [2;4]. On d\u00e9finit alors la suite \\((u_n)\\) par son premier terme \\(u_0=2\\) et par la relation \\(u_{n+1}=f(u_n)\\), c&rsquo;est-\u00e0-dire:$$u_{n+1}=\\frac{5-4u_n}{1-u_n}.$$Pour obtenir l&rsquo;expression de \\(u_{n+1}\\), on a juste remplac\u00e9 <em>x<\/em> par \\(u_n\\) dans f(<em>x<\/em>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La d\u00e9riv\u00e9e de <em>f<\/em> est :$$f'(x)=\\frac{1}{(1-x)^2}&gt;0$$ donc <em>f<\/em> est strictement croissante sur [2;4].<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00e9montrons par r\u00e9currence que pour tout entier naturel <em>n<\/em>, \\(2 \\leqslant u_n \\leqslant 4\\).<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>L&rsquo;initialisation est r\u00e9alis\u00e9e car \\(u_0=2\\), donc bien compris entre 2 et 4.<\/li>\n\n\n\n<li>Supposons que pour un <em>k<\/em> &gt; 0, \\(2 \\leqslant u_k \\leqslant 4\\). Alors, comme <em>f<\/em> est croissante, les images de chaque membre de ce dernier encadrement par la fonction <em>f<\/em> seront rang\u00e9es dans le m\u00eame ordre:$$f(2) \\leqslant f(u_n) \\leqslant f(4)$$c&rsquo;est-\u00e0-dire:$$3 \\leqslant u_{n+1}\\leqslant \\frac{11}{3}$$et comme \\(\\frac{11}{3}&lt;4\\) et 2 &lt; 3, on a bien:$$2 \\leqslant u_{n+1} \\leqslant 4.$$L&rsquo;h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 est alors v\u00e9rifi\u00e9e.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ainsi, d&rsquo;apr\u00e8s le principe de r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 est vraie pour tout entier naturel <em>n<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"importance\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Limportance_de_linitialisation\"><\/span>L&rsquo;importance de l&rsquo;initialisation<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il arrive que des propri\u00e9t\u00e9s soient h\u00e9r\u00e9ditaires sans pour autant qu&rsquo;elles soient vraies. C&rsquo;est notamment le cas de la propri\u00e9t\u00e9 suivante:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour tout entier naturel <em>n<\/em>, \\(10^n+1\\) est divisible par 9.<\/p>\n<cite>Propri\u00e9t\u00e9 fausse.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En effet, supposons que pour un entier naturel <em>k<\/em> quelconque, P(<em>k<\/em>) soit vraie, c&rsquo;est-\u00e0-dire que \\(10^k+1\\) est divisible par 9. Alors, si <em>p<\/em> d\u00e9signe un entier, on a:$$\\begin{align}10^k+1=9p &amp; \\Rightarrow 10(10^k+1)=90p\\\\&amp;\\Rightarrow 10^{k+1}+10=90p\\\\&amp;\\Rightarrow 10^{k+1}+10-9=90p-9\\\\&amp;\\Rightarrow 10^{k+1}+1=9(10p-1)\\end{align}$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut ainsi conclure que \\(10^{k+1}+1\\) est divisible par 9. On a alors d\u00e9montr\u00e9 que P(<em>k<\/em>) \u21d2 P(<em>k<\/em> + 1). La propri\u00e9t\u00e9 est donc h\u00e9r\u00e9ditaire.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Or, pour <em>n<\/em> = 0, \\(10^n+1=10^0+1=1+1=2\\), qui n&rsquo;est pas divisible par 9. Pour <em>n<\/em>=1, \\(10^n+1=10+1=11\\) n&rsquo;est pas non plus divisible par 9&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nous avons donc ici la preuve que ce n&rsquo;est pas parce qu&rsquo;une propri\u00e9t\u00e9 est h\u00e9r\u00e9ditaire qu&rsquo;elle est vraie. Il faut n\u00e9cessairement qu&rsquo;elle soit vraie pour le premier <em>n<\/em> possible.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">L&rsquo;initialisation est donc tr\u00e8s importante dans un raisonnement par r\u00e9currence.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Pour en savoir plus sur le raisonnement par r\u00e9currence, vous pouvez jeter un coup d\u2019\u0153il sur la <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Raisonnement_par_r%C3%A9currence\" target=\"_blank\">page wikipedia<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-black-color has-light-green-cyan-background-color has-text-color has-background has-medium-font-size wp-block-paragraph\"><strong>Retrouvez plus d&rsquo;exercices corrig\u00e9s sur la r\u00e9currence sur <a href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/exercices-corriges-maths-terminale\/\">cette page<\/a>.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center is-style-default has-black-color has-pale-cyan-blue-background-color has-text-color has-background has-medium-font-size wp-block-paragraph\"><strong>Retrouvez un QCM sur le raisonnement par r\u00e9currence sur la page des <a href=\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/quiz-maths-terminale-enseignement-de-specialite\/\">Quiz de Terminale<\/a>.<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le raisonnement par r\u00e9currence est l&rsquo;un des raisonnements les plus utiles en Terminale de sp\u00e9cialit\u00e9 Math\u00e9matiques en France.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3712,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[21,6],"tags":[],"class_list":["post-3651","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-enseignement","category-mathematiques"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.1 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Raisonnement par r\u00e9currence - Mathweb.fr - Terminale Maths Sp\u00e9cialit\u00e9<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Le raisonnement par r\u00e9currence est l&#039;un des raisonnements les plus utiles en Terminale de sp\u00e9cialit\u00e9 Math\u00e9matiques en France. 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