{"id":423,"date":"2018-08-26T16:20:48","date_gmt":"2018-08-26T14:20:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/?p=423"},"modified":"2021-02-04T18:11:46","modified_gmt":"2021-02-04T17:11:46","slug":"circonscrire-un-polygone-la-constante-de-kasner-newman","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/2018\/08\/26\/circonscrire-un-polygone-la-constante-de-kasner-newman\/","title":{"rendered":"Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman"},"content":{"rendered":"\n

Dans les ann\u00e9es 1940, les math\u00e9maticiens Edward Kasner et James Roy Newman d\u00e9couvrirent une constante :
\\[ R=\\frac{1}{\\cos\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)\\times\\cos\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)\\times\\cos\\left(\\frac{\\pi}{5}\\right)\\times\\cdots} \\]
que l’on peut aussi \u00e9crire : \\[ R=\\prod_{n\\geq3}\\frac{1}{\\cos\\left(\\frac{\\pi}{n}\\right)}.\\]<\/p>\n\n\n\n

Ils d\u00e9couvrirent cette constante de la mani\u00e8re suivante : on construit successivement :<\/p>\n\n\n\n

  1. un cercle de rayon r<\/em>;<\/li>
  2. le triangle \u00e9quilat\u00e9ral circonscrit \u00e0 ce cercle;<\/li>
  3. le cercle circonscrit au triangle \u00e9quilat\u00e9ral;<\/li>
  4. le carr\u00e9 circonscrit au dernier cercle;<\/li>
  5. le cercle circonscrit au carr\u00e9;<\/li>
  6. le pentagone r\u00e9gulier circonscrit au dernier cercle;<\/li>
  7. le cercle circonscrit au pentagone;<\/li>
  8. l’hexagone circonscrit au dernier cercle;<\/li>
  9. etc.<\/li><\/ol>\n\n\n\n

    En observant le rayon des cercles, on s’aper\u00e7oit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle \u00e0 R<\/em> (d\u00e9finie pr\u00e9c\u00e9demment).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

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