\\(d_r=50-d_r^\\prime\\).<\/li><\/ol>\n\n\n\nLe point 2. nous dit que, comme \\(v_c=\\frac{d_a}{t_1}\\) et \\(v_A=\\frac{d_a^\\prime}{t_1}\\), on a : \\[ v_ct_1=v_At_1+50\\qquad\\text{soit}\\qquad t_1=\\frac{50}{v_c-v_A}. \\]<\/p>\n\n\n\n
Le point 3. nous dit de m\u00eame que : \\[ v_ct_2=50-v_At_2\\qquad\\text{soit}\\qquad t_2=\\frac{50}{v_c+v_A}. \\]<\/p>\n\n\n\n
Le point 1. nous donne alors : \\[ \\begin{align*} & \\frac{50}{v_c-v_A}+\\frac{50}{v_c+v_A}=\\frac{50}{v_A}\\\\ \\iff & \\frac{2v_c}{v_c^2-v_A^2}=\\frac{1}{v_A}\\\\ \\iff & 2v_cv_A=v_c^2-v_A^2\\\\ \\iff & v_c^2-2v_cv_A-v_A^2=0\\\\ \\iff & \\frac{v_c^2}{v_A^2}-2\\frac{v_c}{v_A}-1=0\\qquad\\text{en divisant par }v_A^2\\\\ \\iff &V^2-V-1=0\\qquad\\text{en posant }X=\\frac{v_c}{v_A} \\end{align*} \\]<\/p>\n\n\n\n
Le discriminant du polyn\u00f4me \\(X^2-2X-1\\) est \\(\\Delta=8\\) donc il y a deux solutions: \\[ V=1-\\sqrt{2}<0\\qquad\\text{ ou }\\qquad V=1+\\sqrt{2}>0. \\]<\/p>\n\n\n\n
\\(v_A\\) et \\(v_c\\) \u00e9tant de m\u00eame signe, \\(V>0\\) donc \\(V=1+\\sqrt{2}\\).<\/p>\n\n\n\n
Ainsi, \\(v_c=(1+\\sqrt{2})v_A\\).<\/p>\n\n\n\n
On en d\u00e9duit alors que : \\[ t_1=\\frac{50}{(1+\\sqrt{2})v_A-v_A}=\\frac{50}{\\sqrt{2}v_A} \\] soit \\[ d_a=t_1v_c=\\frac{50(1+\\sqrt{2})}{\\sqrt{2}}=25(2+\\sqrt{2}) \\] et \\[ t_2=\\frac{50}{(1+\\sqrt{2})v_A+v_A}=\\frac{50}{(2+\\sqrt{2})v_A}\\] soit \\[ d_r=t_2v_c=\\frac{50(1+\\sqrt{2})}{2+\\sqrt{2}}=25\\sqrt{2}. \\]<\/p>\n\n\n\n
La distance parcourue par le cavalier est donc \\(d_a+d_r=50(1+\\sqrt{2})\\).<\/p>\n\n\n\n
Le cavalier aura donc parcouru \u00e0 peu pr\u00e8s 120,71 kilom\u00e8tres.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<\/span>Le prix des \u0153ufs<\/span><\/h1>\n\n\n\n\u00ab\u00a0J’ai pay\u00e9 douze centimes les \u0153ufs que j’ai achet\u00e9s chez l’\u00e9picier – expliquait le cuisinier – mais je lui ai demand\u00e9 d’en ajouter deux gratuitement parce qu’ils \u00e9taient trop petits. J’ai donc pay\u00e9 mes \u0153ufs un centime de moins par douzaine.\u00a0\u00bb<\/p>
Combien d’\u0153ufs a achet\u00e9 le cuisinier ?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n
Notons n<\/em> le nombre d’\u0153ufs et p<\/em> le prix normal d’un \u0153uf.<\/p>\n\n\n\nOn a d’une part : \\[ 12=np\\;,\\qquad\\text{donc} \\qquad p=\\frac{12}{n}\\;, \\]<\/p>\n\n\n\n
car np<\/em> d\u00e9signe le prix de n<\/em> \u0153ufs.<\/p>\n\n\n\nD’autre part, nous savons que le prix r\u00e9ellement pay\u00e9 d’un \u0153uf est : \\[ \\frac{12}{n+2}. \\]<\/p>\n\n\n\n
Ainsi, \\[ \\frac{12}{n+2}\\times12=12\\times\\frac{12}{n}-1. \\]<\/p>\n\n\n\n
Cette derni\u00e8re \u00e9quation nous donne : \\[ \\frac{144}{n+2}=\\frac{144-n}{n} \\]<\/p>\n\n\n\n
soit : \\[ 144n=(144-n)(n+2)\\;,\\]<\/p>\n\n\n\n
ou encore : \\[ n^2+2n-288=0. \\]<\/p>\n\n\n\n
Le discriminant du poly\u00f4me \\(n^2-2n-288\\) est : \\[ \\Delta=2^2-4\\times1\\times(-288)=1156\\]<\/p>\n\n\n\n
donc il existe deux valeurs de n<\/em> possibles : \\[ n_1=\\frac{-2-\\sqrt{1156}}{2}=-18 \\] et \\[ n_2=\\frac{-2+\\sqrt{1156}}{2}=16. \\]<\/p>\n\n\n\nUne seule est possible car
![\"\"](\"https:\/\/www.mathweb.fr\/euclide\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/jeu-du-taquin-1.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n