Le but est de déterminer la valeur de l’intégrale:$$I=\int_0^1 \frac{x}{(x^2+5x+6)^2}\text{d}x$$ à l’aide d’une décomposition en éléments simples.
À première vue, la fonction $f:x\mapsto \frac{x}{(x^2+5x+6)^2}$ n’a pas de primitive simple.
Nous allons donc décomposer en éléments simples cette fonction à l’aide d’une technique rapide.
Intégrale et décomposition en éléments simples: la forme souhaitée
Décomposer en éléments simples une telle fraction revient à écrire la fraction comme somme d’autres fractions plus simples.
Commençons donc par observer que le polynôme $x^2+5x+6$ admet deux racines réelles: -2 et -3. Ainsi, on peut écrire:$$f(x)=\frac{x}{(x+2)^2(x+3)^2}.$$
L’idée consiste donc à écrire $f(x)$ sous la forme:$$f(x)=\frac{a}{x+2} + \frac{b}{(x+2)^2} + \frac{c}{x+3} + \frac{d}{(x+3)^2}.\quad(1)$$
Bien sûr, on pourrait réduire au même dénominateur l’expression à droite du signe égal, mais c’est tout de même assez long et fastidieux… On va donc utiliser une autre méthode…
Intégrale et décomposition en éléments simples: recherche des coefficients
Recherche de “b”
Multiplions par $(x+2)^2$ les membres de l’égalité (1). On obtient:$$(x+2)^2f(x)=\frac{x}{(x+3)^2}=a(x+2) + b + \frac{c(x+2)^2}{x+3} + \frac{d(x+2)^2}{(x+3)^2}.$$
Considérons maintenant cette égalité lorsque $x$ tend vers $-2$; on obtient alors:$$\frac{-2}{(-2+3)^2}=b$$soit:$$b=-2.$$
Recherche de “d”
Nous allons faire de même pour trouver $d$: nous allons multiplier les membres de l’égalité (1) par $(x+3)^2$:$$(x+3)^2f(x)=\frac{x}{(x+2)^2}=\frac{a(x+3)^2}{x+2} + \frac{b(x+3)^2}{(x+2)^2} + c(x+3) + d.$$
Maintenant, prenons la limite quand $x$ tend vers $-3$; on obtient:$$-3=d.$$
Premier bilan
Nous pouvons alors écrire à ce stade:$$f(x)=\frac{a}{x+2} + \frac{-2}{(x+2)^2} + \frac{c}{x+3} + \frac{-3}{(x+3)^2}$$soit:$$f(x)+ \frac{2}{(x+2)^2} + \frac{3}{(x+3)^2}=\frac{a}{x+2} + \frac{c}{x+3}.$$
On peut calculer l’expression de droite, ce qui donne:$$\frac{5}{(x+2)(x+3)}=\frac{a}{x+2} + \frac{c}{x+3}.\quad(2)$$
Recherche de “a”
Multiplions par $(x+2)$ l’égalité (2); on obtient:$$\frac{5}{x+3}=a+\frac{c(x+2)}{x+3}.$$Maintenant, prenons la limite lorsque $x$ tend vers $-2$. On obtient alors:$$5=a.$$
Recherche de “c”
Multiplions par $(x+3)$ l’égalité (2); on obtient:$$\frac{5}{x+2}=\frac{a(x+3)}{x+2}+c.$$Maintenant, prenons la limite lorsque $x$ tend vers $-3$. On obtient alors:$$-5=c.$$
Décomposition finale
On obtient alors:$$f(x)=\frac{5}{x+2} – \frac{2}{(x+2)^2} – \frac{5}{x+3} – \frac{3}{(x+3)^2}.$$
Intégrale et décomposition en éléments simples: calcul de l’intégrale
En utilisant la linéarité de l’intégrale, on a:$$I=\int_0^1 \frac{5}{x+2}\text{d}x – \int_0^1\frac{2}{(x+2)^2}\text{d}x – \int_0^1\frac{5}{x+3}\text{d}x – \int_0^1\frac{3}{(x+3)^2}\text{d}x,$$quatre intégrales que l’on peut facilement calculer car nous pouvons trouver une primitive des quatre fonctions.
On a alors:$$I = \left[ 5\ln(x+2) + \frac{2}{x+2} – 5\ln(x+3) + \frac{3}{x+3} \right]_0^1$$que l’on peut aussi écrire:$$I = \left[ 5\ln\left(\frac{x+2}{x+3}\right) + \frac{5x + 12}{(x+2)(x+3)} \right]_0^1.$$
Finalement,$$I=5\ln\frac{3}{4}+\frac{17}{12}-5\ln\frac{2}{3}-\frac{12}{6} = 5\ln\frac{9}{8}-\frac{7}{12}.$$
La fonction $f$ étant positive sur [0;1], cette intégrale nous donne l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$ et l’axe des abscisses sur ce même intervalle:
