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Le second degré : une fiche récapitulative

Bien le bonjour l’ami.e. !

Comme j’ai bossé pendant pas mal de temps sur cette fiche, je t’en fais profiter.

Et pour les membres de ce site, en plus, je joins le fichier source \(\LaTeX\).

La fiche : Le second degré

Les sources : sur cette page

Des équations de cœurs

On peut être matheux et romantique. La preuve : toutes ces équations de cœurs… Tiens ! C’est un bon prétexte pour parler de courbes paramétrées !

Les problèmes de Sam Loyd

Sam Loyd (1841 – 1911) est ce que je pourrais appeler un \”récréateur de problèmes mathématiques” : il a créé des problèmes mathématiques se voulant récréatifs.

Vous connaissez le jeu du taquin ? Et bien, c’est Sam Loyd qui popularisa ce jeu.

En voici quelques uns que je trouve intéressants.

Zéro exposant zéro

Au même titre que \(\displaystyle\frac{0}{0}\), l’écriture \(0^0\) reste un mystère pour beaucoup de personnes novices qui manipulent les mathématiques. Comme pour la première écriture, nous allons voir qu’il est impossible d’imposer une égalité fixe pour la seconde.

Aire entre trois cercles tangents

Cet article a pour objectifs de construire trois cercles tangents de rayons différents et de calculer l’aire du domaine compris entre ces trois cercles.

Triangle orthique et problème de Fagnano

Giulio Fagnano était un mathématicien italien de la fin du XVIIe siècle.

Il a probablement été le premier à s’être intéressé à la théorie des intégrales elliptiques, mais ce n’est pas l’objet de cet article.

Le problème connu sous le nom de problème de Fagnano est le suivant :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle ?

Le théorème de Pick

On considère un polygone convexe, c’est-à-dire une figure géométrique constituée de plusieurs côtés rectilignes de sorte qu’aucun sommet ne “rentre”  dans la figure, sur un maillage régulier de sorte que chaque sommet soit sur un nœudde ce maillage comme l’illustre le schéma ci-dessous.

Le théorème de Pick stipule que la superficie du polygone peut être calculée de façon simple à l’aide de la formule :  \[ \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1\]
exprimée en unités d’aire, où “i” représente le nombre de nœuds intérieurs au polygone et “b” celui des nœuds se trouvant sur ses côtés.

Le théorème de Viviani

Ce théorème stipule que : “dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur quelconque aux trois côtés est constante.”

Autrement dit, quelle que soit la position du point M dans le triangle ABC, \[ \text{MS}+\text{MQ}+\text{MO} = \text{constante}.\]

La méthode de Hörner

Considérons un polynôme P, dont une racine est égale à a.

La méthode de Hörner va nous permettre de trouver les coefficients du polynôme Q tel que : \[P(x)=(x-a)Q(x).\]

Bien entendu, il existe d’autres méthodes, comme la division euclidienne de polynômes ou encore la méthode des coefficients indéterminés, mais nous allons voir que la méthode de Hörner a deux avantages sur les autres : sa rapidité et le fait que l’on puisse la programmer aisément.

Calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle

Considérons un triangle quelconque ABC ; posons alors AB = c, AC = et BC = a.

Posons \(\ell\) la longueur de la bissectrice issue de C ; alors, on a:

 

Démontrons ce résultat…