Raisonnements mathématiques: vue d'ensemble

Il existe différents types de raisonnements mathématiques. Nous allons voir sur cette page les plus importants : raisonnement inductif, déductif, par l’absurde, par récurrence, etc.

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Raisonnement inductif

Le principe du raisonnement inductif

Ce type de raisonnement est le plus facile à appréhender.

Dès le collège, on apprend aux élèves à observer pour déduire (notamment en géométrie) : les droites semblent-elles parallèles ? Perpendiculaires ?

Le raisonnement inductif consiste à partir de faits empiriques, faits observés par une expérience, pour en déduire quelque chose de plus général.

C’est le principe des sondages : sur un échantillon représentatif d’une population, à taille réduite, on observe un phénomène et on le généralise à la population entière.

Exemple de raisonnement inductif

Nous observons que l’eau, l’huile, le vin et le lait congèlent si la température est très basse. On peut donc conjecturer que tous les liquides se congèlent si tenté que l’on baisse suffisamment la température.

Cet exemple est inspiré de la page http://www.cosmovisions.com/induction.htm.

On l’aura compris, dès que l’on demande aux élèves de conjecturer une propriété, on leur demande de faire un raisonnement inductif.

Raisonnement déductif: un des raisonnements mathématiques importants

Le principe du raisonnement déductif: le syllogisme

C’est le contraire du raisonnement inductif. On part d’un fait général pour en déduire qu’un de ses cas particuliers est vrai.

Exemple de raisonnement déductif

Appuyons-nous sur l’exemple précédent. Partons du principe que tous les liquides deviennent solides une fois la température devenue assez basse. L’eau est un liquide, donc l’eau devient solide à une température suffisamment basse. C’est un syllogisme.

Un syllogisme devenu célèbre est le suivant :

Tout homme est mortel,
Or Socrate est homme,
Donc Socrate est mortel.

C’est un raisonnement déductif : A implique B; or, B implique C. Donc A implique C.

Raisonnement par abduction

Principe du raisonnement par abduction

Ce raisonnement consiste à partir de faits $A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n$ dont une cause possible est notée $B$, et d’en conclure que $B$ est réalisée. On peut l’écrire ainsi:

$A_1$, $A_2$, … , $A_n$ sont vrais
$B \Rightarrow A_k$ pour $k=1,2,\ldots,n$
Donc $B$ est vrai.

Exemple de raisonnement par abduction

Un docteur en médecine observe plusieurs symptômes chez un client… euh ! Un patient ! Il peut alors diagnostiquer une maladie M connue pour avoir de tels symptômes.

Raisonnement par récurrence: un autre des raisonnements mathématiques importants

Le principe du raisonnement par récurrence

On souhaite démontrer une propriété, notée P(n), qui dépend d’un entier $n\geqslant n_0$. Pour cela, on peut:

vérifier que P($n_0$) est vraie (ce point est appelée l’initialisation);
démontrer que, pour un entier k > $n_0$, si P(k) est vraie alors P(k+1) l’est aussi (c’est ce que l’on nomme l’hérédité).

C’est le principe de récurrence faible, que l’on voit en lycée.

On peut aussi:

vérifier que P($n_0$), P($n_0+1$),…,P($n_0+p$) sont vraies;
démontrer que pour pour un entier k > $n_0+p$, si P(k) est vraie alors P(k+1) l’est aussi.
C’est le principe de récurrence forte.

Exemple de raisonnement par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par :$$\begin{cases}u_0=\frac{1}{2}\\u_{n+1}=\frac{1}{1+u_n}\end{cases}$$On peut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $0 < u_n < 1$ (on va noter P(n) cette propriété). En effet:

Initialisation: pour n = 0, on a bien $0 < u_n < 1$;
Hérédité: on suppose que pour un entier k > 0, $0 < u_k < 1$. Alors:$$\begin{align}0 < u_k < 1 & \iff 1 < u_k + 1 < 2\\ & \iff \frac{1}{2} < \frac{1}{1+u_k} < \frac{1}{1} \\& \iff 0 < u_{k+1} < 1\end{align}$$Ainsi, dire que P(k) est vraie implique (équivaut même ! mais peu importe car seule l’implication compte) que P(k+1) l’est aussi.

On peut alors conclure que P(n) est vraie.

Raisonnement par disjonction de cas

Le principe du raisonnement par disjonction de cas

Ce principe consiste à démontrer une propriété en étudiant chaque cas possible.

Exemple du raisonnement par disjonction de cas

Démontrons que le nombre $A_n=n(2n+1)(7n+1)$ est toujours divisible par 6, quelle que soit la valeur de l’entier n.

Nous allons d’abord faire une disjonction de cas sur la parité de n pour démontrer que $A_n$ est pair.

Si n est pair, pas de soucis, $A_n$ l’est aussi comme produit d’un nombre pair par deux autres nombres entiers.
Si n est impair, alors 7n+1 est pair. En effet, posons n = 2k + 1. On a alors:$$7n+1=7(2k+1)+1=14k+8=2(7k+4).$$

Nous avons vu tous les cas possibles de n concernant sa parité et dans chaque cas, $A_n$ est pair.

Nous allons maintenant faire une disjonction de cas sur la divisibilité de n par 3 pour démontrer que $A_n$ est divisible par 3. Selon ce critère, n peut s’écrire sous la forme 3k (s’il est multiple de 3), 3k+1 ou 3k + 2 (il n’y a pas d’autres possibilités).

Si n est divisible par 3, alors $A_n$ aussi (comme produit d’un nombre divisible par 3 et de deux nombres entiers).
Si n = 3k + 1, alors 2n + 1 = 2(3k+1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1), ce qui signifie que $A_n$ admet un facteur divisible par 3, et donc qu’il est lui-même divisible par 3.
Si n = 3k + 2, alors 7n + 1 = 21k +15 = 3(7k + 5), et même conclusion.

Ainsi, $A_n$ est divisible par 3.

Comme $A_n$ est divisible par 2 et par 3, il l’est par 6 (car 2 et 3 sont premiers entre eux).

Raisonnement par contraposée: un autre des raisonnements mathématiques importants

Le principe du raisonnement par contraposée: un autre des raisonnements mathématiques importants

Pour démontrer une implication de la forme $P \Rightarrow Q$, on peut démontrer que $\text{non }Q \Rightarrow \text{non} P$.

Exemple de raisonnement par contraposée

Démontrons que si $2^n-1$ est un nombre premier alors n est premier.

Pour cela, on va démonter la contraposée, à savoir que si n n’est pas premier alors $2^n-1$ n’est pas premier.

Si n n’est pas premier alors il s’écrit sous la forme n = pq, où p et q sont différents de 1 et n. on a alors:$$\begin{align}2^n-1 & = 2^{pq}-1\\& = \big(2^p-1\big)\big[2^{(q-1)p} + 2^{(q-2)p} + \cdots + 1 \big] \end{align}$$Cette dernière égalité signifie que $2^n-1$ n’est pas premier car il peut se décomposer en produit de facteurs. CQFD.

Raisonnement par l’absurde: un autre des raisonnements mathématiques importants

Le principe du raisonnement par l’absurde: un autre des raisonnements mathématiques importants

Pour démontrer par l’absurde qu’une propriété P est vraie, on peut supposer qu’elle est fausse et en déduire quelque chose d’absurde (du genre 1=2). Cela suffit pour démontrer que P est vraie.

Exemple de raisonnement par l’absurde: un autre des raisonnements mathématiques importants

On peut démontrer ainsi que $\sqrt2$ est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction où le numérateur et le dénominateur sont tous les deux entiers.

Supposons donc le contraire de ce que l’on veut démontrer: supposons que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, avec p et q entiers de sorte que la fraction soit irréductible.

En élevant au carré, on obtient:$$\big(\sqrt2\big)^2=\frac{p^2}{q^2}$$soit:$$2=\frac{p^2}{q^2}.$$Ainsi, $$p^2=2q^2.$$Comme p et q sont premiers entre eux (car la fonction est irréductible), cela signifie que p² est pair, et donc que p aussi et s’écrit alors p = 2k (où k est un entier).

On peut alors écrire:$$\begin{align}p^2=2q^2 & \iff 4k^2=2q^2\\&\iff 2k^2=q^2 \end{align}$$ce qui signifie que q est aussi pair… ce qui est contradictoire avec notre hypothèse selon laquelle p et q sont premiers entre eux (et ne doivent donc pas avoir de diviseurs communs).

Comme nous arrivons à une absurdité, cela signifie que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $\sqrt2$ ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

Si les raisonnements vous plaisent, jetez un coup d’œil sur cet article : Absurdité mathématique : démontrer l’impossible.