Considérons un triangle quelconque ABC ; posons alors AB = c, AC = b et BC = a.
Posons \(\ell\) la longueur de la bissectrice issue de C ; alors, on a:
Démontrons ce résultat…
EDF souhaite augmenter ses tarifs de 30 % sur 5 ans, soit une augmentation moyenne de 6 % par an.
C’est à peu près ce que j’ai pu entendre il y a quelques années sur beaucoup de chaînes de télévision de la part de certains journalistes. Et cela m’a un peu fait mal aux oreilles car ce n’est pas correct, et pour s’en rendre compte, il est nécessaire de revenir sur la notion de moyenne…
À l’école primaire, les élèves prennent connaissance de l’existence d’un nombre mystérieux nommé “Pi” et noté par la lettre grecque “\(\pi\)” par Archimède, en rapport avec l’initiale du mot “\(\pi\varepsilon\rho\iota\mu\varepsilon\tau\rho o\zeta\)” (“périmètre” en français).
À ce stade de l’apprentissage, les professeurs des écoles disent que la valeur de Pi est 3,14 et j’espère qu’ils ajoutent que ce n’est qu’une valeur approchée de ce nombre qui admet une partie décimale infinie. D’ailleurs, tout nombre qui ne peut pas s’écrire entièrement est désigné par une lettre ou autre chose de “rapide à écrire” et c’est la raison pour laquelle Pi est désigné par une lettre : on ne peut pas l’écrire en entier.
On définit le nombre \(\pi\) comme étant le rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre (il faut entendre ici : dans le plan euclidien). Mais pourquoi ce rapport est-il constant ? Comment a-t-on pu démontrer que \(\pi\) existait ? Nous allons le voir ici …
Considérons l’équation polynomiale de degré 3 suivante : \[ ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]
Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]
où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.
Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).
Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]
Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :
En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).
Geogebra n’est plus à présenter. Ce logiciel de géométrie (entre autre) permet quelque fois de présenter en cours des choses plutôt sympas.
Dans cet article, je vais prendre pour prétexte une activité que j’avais proposée à mes élèves de 6ème afin de créer une animation et au final, un Gif.
Il y a beaucoup de personnes qui aiment ce genre de problèmes : démontrer quelque chose que l’on sait faux avec une preuve qui a l’air vraie… Enfin… Qui a l’air vrai si l’on a pas les connaissances pour voir où est l’erreur.
Le chiffrement affine est une méthode de chiffrement basée sur les fonctions affines… Mouais !
En d’autres termes, si x est le code d’une lettre sur un alphabet déterminé alors cette dernière sera transformée en une autre lettre dont le code est égal à ax+b mod n (où n est le nombre de caractères de l’alphabet choisi et où a et b sont deux entiers strictement inférieurs à n).