Les polynômes de Bernoulli m’ont été enseignés alors que je n’étais qu’en Première, il y a moultes années… Retour en arrière…
Polynômes de Bernoulli: introduction
Introduction de l’introduction
Cherchons un polynôme du second degré \(P_2(x)=ax^2+bx+c\) telle que:$$\forall x\in\mathbb{R},\quad P_2(x+1)-P_2(x)=x.$$
« – Mais pourquoi ??? » me direz-vous, tel Sheldon lisant la thèse de Bert après que ce dernier ait reçu un prestigieux prix (on est fan ou on ne l’est pas… si vous avez la ref!)
Parce que j’ai ai envie, et puis c’est tout! Patience petit scarabée… Tu vs comprendre!
Regardons comment trouver les coefficients a, b et c:$$\begin{array}{ll}\forall x\in\mathbb{R},\ P_2(x+1)-P_2(x)=x & \iff a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=x\\ & \iff 2ax+a+b=x\\ & \iff a=\frac{1}{2},\ b=-\frac{1}{2}\end{array}$$
Comme la valeur de c n’a aucune importance, on va la prendre nulle. On va se la jouer physicien… (beurk! un physicien… !)
On a donc:$$P_2(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x.$$Super! Bon, on fait quoi avec ça… ?
Application à l’analyse numérique
Considérons le polynôme \(P_2\) non pas sur l’ensemble des réels mais sur celui des entiers naturels. On a alors:$$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_2(n+1)-P_2(n)=n.$$En particulier, nous avons:$$\begin{array}{ll}P_2(2)+P_2(1) & = 1\\P_2(3)+P_2(2) & = 2\\P_2(4)+P_2(3) & = 3\\ \vdots & \vdots\\P_2(n)+P_2(n-1) & = n-1\\P_2(n+1)+P_2(n) & = n \end{array}$$
En effectuant la somme de ces égalités, on obtient:$$ \sum_{k=1}^{n} P_2(k+1)-P_2(k) = \sum_{k=1}^n k$$On reconnaît à gauche une somme télescopique (qui a été photographiée à de multiples reprises par les différents magazines people mathématiques). Tout ceci donne:$$P_2(n+1)-P_2(1)=1+2+3+\cdots+n$$ soit : $$\frac{1}{2}\big[(n+1)^2-1\big]=1+2+\cdots+n$$et donc:$$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}=1+2+3+\cdots+n}$$
Trop cool tout ça! Le polynôme nous permet de calculer la somme des n premiers nombres entiers…
Polynômes de Bernoulli: étape suivante
À ce stade, on n’a qu’une seule envie: savoir si on peut faire pareil « un cran au dessus »: posons \(P_3\) le polynôme de degré 3 tel que:$$\forall x \in \mathbb{R},\quad P_3(x+1)-P_3(x)=x^2.$$
Cette dernière condition nous mène, en posant \(P_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) à:$$\begin{array}{ll}\forall x\in\mathbb{R},\quad & a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)-(ax^3+bx^2+cx+d)=x^2\\ \iff & 3ax^2+(3a+2b)x + a+b+c = x^2\\ \iff & \begin{cases}3a=1\\3a+2b=0\\a+b+c=0\end{cases}\\ \iff & a=\frac{1}{3},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{6} \end{array}$$
On a alors, en prenant d = 0:$$P_3(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x$$
Comme précédemment, on peut alors écrire:$$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_3(n+1)-P_3(1)=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$$ soit:$$\boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}$$
Non mais sérieux, c’est pas génial ce polynôme ?
Polynôme de Bernoulli: généralisation
Grands mathématiciens que nous sommes, nous pouvons nous dire que nous allons généraliser tout ça en posant:$$P_n(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k$$ tel que:$$P_n(x+1)-P_n(x)=x^{n-1}.$$
Ces polynômes ne sont pas les polynômes de Bernoulli… Non, pas encore! Les polynômes de Bernoulli sont les polynômes \(B_n\) tels que:$$B_n(x)=P_{n+1}^\prime(x)$$
Alors, pourquoi définir les polynômes de Bernoulli ? En fait, je n’en sais rien… Je trouve que mes polynômes sont bien plus pratiques… mais bon! Jakob (Bernoulli) n’a pas pensé à mes polynôme a priori… 🙂
Parce qu’il faut bien le dire, mes polynômes sont super sympas; en effet,$$P_k(n+1)=1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k.$$ Mais bon! Les polynômes de Bernoulli permettent eux aussi de calculer ces sommes; on ne va donc pas s’embêter avec d’autres polynômes qui leurs ressemblent fortement…
On retiendra donc que les polynômes de Bernoulli permettent de calculer les \(\zeta(s)\) pour s entier strictement négatif (fonction de Riemann), mais pas exactement de la même façon que mes polynômes… 🙂
