En mathématiques, s’il est bien un exercice classique, c’est celui des robinets qui remplissent une baignoire.
Robinets et baignoire, un problème classique de mathématiques: l’énoncé
Deux robinets peuvent remplir une baignoire.
Le premier robinet peut remplir la baignoire en 30 minutes quand il est le seul ouvert.
Le second robinet peut remplir la baignoire en 20 minutes s’il est le seul ouvert.
En combien de temps la baignoire est remplie si les deux robinets sont ouverts en même temps?
Robinets et baignoire, un problème classique de mathématiques: la solution générale
Généralisation
Nous allons noter \(R_1\) le premier robinet, et \(R_2\) le second.
Pour raisonner de manière générale, nous allons admettre que:
- \(R_1\) remplit la baignoire en un temps \(t_1\) minutes,
- \(R_2\) remplit la baignoire en un temps \(t_2\) minutes.
Ainsi, en une minute,
- \(R_1\) remplit \(\frac{1}{t_1}\) de la baignoire
- \(R_2\) remplit \(\frac{1}{t_2}\) de la baignoire
Nous avons ici utilisé les principes de la proportionnalité. Ainsi, les deux robinets remplissent \(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}\) de la baignoire en 1 minute à eux deux.
Pour obtenir la totalité de la baignoire, on multiplie par l’inverse de cette fraction. Il faut donc \(\frac{t_1 \times t_2}{t_1+t_2}\) minutes pour remplir la baignoire.
La solution à notre question
En posant \(t_1 = 30\) et \(t_2 = 20\), on obtient que le temps nécessaire aux robinets pour remplir la baignoire est, en minutes:$$\frac{30 \times 20}{30+20}=12.$$
Donc, il faut 12 minutes à ces deux robinets pour remplir la baignoire.
Généralisation
Supposons que l’on ait n robinets, notés de \(R_1\) à \(R_n\), et que \(R_k\) remplisse la baignoire en \(t_k\) minutes s’il est le seul ouvert, pour \(1 \leq k \leq n\).
D’après le raisonnement précédent, si tous les robinets sont ouverts, la baignoire sera remplie en \( \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n}}\) minutes.
