Certaines intégrales semblent impossibles à calculer avec les méthodes classiques. Pourtant, les nombres complexes et le théorème des résidus de Cauchy permettent parfois de les transformer en calculs étonnamment simples.
Quand une intégrale résiste aux méthodes classiques
Introduction
Considérons l’intégrale:
Comment la calculer ?
Cette intégrale est impropre, puisque ses bornes sont infinies. Pourtant, elle converge : lorsque x devient grand, la fonction \(x \mapsto \frac{1}{1+x^2} \) se comporte comme \( x \mapsto \frac{1}{x^2} \).
On pourrait bien sûr utiliser une primitive de cette fonction, qui est arctan(x), mais comment ferions nous si on remplaçait 1+x² par n’importe quel autre polynôme, où si l’on faisait intervenir un cosinus ?
C’est précisément là que les nombres complexes vont nous être utiles. En transformant une intégrale réelle en une intégrale dans le plan complexe, le théorème des résidus de Cauchy va nous permettre d’obtenir des résultats qui semblent, au premier abord, assez surprenants.
Une idée surprenante : passer par les nombres complexes
Considérons la fonction complexe:
sur le demi-plan supérieur (par exemple). En effet, cette fonction admet deux pôles (valeurs de z qui annulent le dénominateur): i et –i. Le fait de ne considérer cette fonction que sur le demi-plan supérieur va faciliter les calculs à venir.
Fermons maintenant l’axe des réels à l’aide d’un grand demi-cercle. Il reste maintenant à vérifier que l’intégrale sur le grand demi-cercle disparaît lorsque son rayon tend vers l’infini. Dans notre exemple, c’est bien le cas, car f(z) décroît comme \(\frac{1}{|z|^2} \), tandis que la longueur du demi-cercle ne croît que comme ∣z∣.
Le théorème des résidus stipule alors que:
Or,
Ainsi,
Un autre calcul d’intégrale avec cosinus
Considérons maintenant l’intégrale:
On va alors poser \( z = \text{e}^{i x} \). Lorsque x varie de 0 à 2π, le point d’affixe z parcourt une fois le cercle unité dans le sens direct.
On sait que:
De plus,
Alors,
Ainsi,
/cit
Nous avons transformé notre intégrale en intégrale calculable à l’aide du théorème des résidus (intégrale d’une fraction rationnelle complexe autour d’un contour fermé).
Notons que \( \oint \) désigne l’intégrale curviligne.
Les pôles de cette fraction rationnelles sont \(z_1=-2+\sqrt3\) et \(z_2=-2-\sqrt3\).
\( |z_1| < 1\) donc \(z_1\) est dans le cercle unité. En revanche, \( |z_2| > 1\). Ainsi,
Dans l’exemple précédent, nous avions fermé l’axe réel par un grand demi-cercle afin d’appliquer le théorème des résidus. Ici, la situation est différente. L’intervalle d’intégration [0,2π] suggère naturellement de poser \( z=\text{e}^{ix}\). Lorsque x parcourt cet intervalle, z décrit précisément le cercle unité. Notre intégrale réelle peut ainsi être transformée en une intégrale curviligne autour de ce cercle.
