L’inégalité de convexité en Terminale n’est pas explicitement au programme. Cependant, certains enseignants décident de l’utiliser pour définir la convexité d’une fonction sur un intervalle.
Inégalité de convexité pour définition en Terminale
Introduction et définition
À travers mon activité d’enseignement à distance, je suis quelques fois confronté à des situations qui me surprennent au niveau pédagogique. C’est notamment le cas lorsque je vois que certains enseignants définissent une fonction convexe \(f\) sur un intervalle I comme étant une fonction vérifiant l’inégalité suivante:$$\forall\ (x,y)\in I\times I,\ \forall t\in[0;1],\ f\big(tx+(1-t)y\big) \leq tf(x)+(1-t)f(y).$$C’est une inégalité barycentrique. Or, la notion de barycentre ayant disparue des programmes du lycée depuis moultes années, il est étonnant de voir cette définition en Terminale car elle n’a de sens que si les élèves la comprennent.
Nous allons donc tenter de la comprendre.
Ecriture barycentrique d’un point sur un segment
Prenons un segment [AB] (par exemple, un bâton). Suspendons à l’extrémité A un poids d’une masse \(m_1\) et à l’autre extrémité, un poids d’une masse \(m_2\).
Le petit bout de bois (M) peut se déplacer entre A et B. On peut alors écrire:$$t\vec{MA}+(1-t)\vec{MB}=\vec{0}\quad,\quad t\in[0;1].$$En effet, nous avons les équivalences suivantes:$$\begin{align} t\vec{MA}+(1-t)\vec{MB}=\vec{0} & \iff t\vec{MA}+(1-t)\big(\vec{MA}+\vec{AB}\big)=\vec{0} \\ & \iff t\vec{MA}+\vec{MA}+\vec{AB}-t\vec{MA}-t\vec{AB}=\vec{0} \\ & \iff \vec{MA}=(1-t)\vec{BA}\end{align}$$
t étant compris entre 0 et 1 (compris), \((1-t)\vec{BA}\) va varier de \(\vec{BA}\) à \(\vec{0}\). Donc \(\vec{MA}\) va lui aussi varier de \(\vec{BA}\) (M = B) à \(\vec{0}\) (M = A). Le point M bouge donc de B à A.
L’écriture \( t\vec{MA}+(1-t)\vec{MB}=\vec{0}\quad,\quad t\in[0;1] \) est appelée écriture barycentrique de M.
Le barycentre du bâton est le point M sur lequel on peut “poser le doigt” de sorte qu’il y ait un parfait équilibre. Dans ce cas, il faut que \(m_1\vec{MA} + m_2\vec{MB} = \vec{0}\).
Lien avec la convexité d’une fonction
Dans la définition de la convexité: $$\forall\ (x,y)\in I\times I,\ \forall t\in[0;1],\ f\big(tx+(1-t)y\big) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$$
- \( tx+(1-t)y \) représente un nombre compris entre x et y, donc \( f\big(tx+(1-t)y\big) \) est l’image de ce nombre par la fonction f;
- \( tf(x)+(1-t)f(y) \) représente un nombre dans l’intervalle [ f(x) ; f(y) ].
Ainsi, cette inégalité représente la situation suivante:
On a \( M\big( tx+(1-t)y\ ;\ f(tx+(1-t)y) \big) \) qui appartient à la courbe représentative de f et \( N\big( tx+(1-t)y\ ;\ tf(x)+(1-t)f(y) \big) \) qui est sur le segment [AB] (son abscisse et son ordonnée sont écrits de manière barycentrique).
L’inégalité de convexité signifie alors que M est toujours au-dessous de N sur l’intervalle considéré et donc que la courbe représentative de f est toujours en dessous de la sécante (la corde) [AB].
% code LaTeX pour construire l'illustration ci-dessus
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=latex]E
\draw[->,thick] (-1,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (0,-1) -- (0,5);
\draw[thick,purple] (0.5,1) to[bend right=40] (4,4);
\draw[orange,dotted] (0.5,1) -- (0.5,0) node[below] {$x$};
\draw[orange,dotted] (4,4) -- (4,0) node[below] {$y$};
\draw[orange,dotted] (0.5,1) -- (0,1) node[left] {$f(x)$};
\draw[orange,dotted] (4,4) -- (0,4) node[left] {$f(y)$};
\draw[green!50!black] (0.5,1) -- (4,4);
\draw[blue!50!black,dashed] (2,0) node[below] {\tiny $tx+(1-t)y$} -- (2,1.32) -- (0,1.32) node[left] {\tiny $f(tx+(1-t)y)$};
\draw[blue!50!black,dotted] (2,1.32) -- (2,2.3) node[above] {$N$} -- (0,2.3) node[left] {\tiny $tf(x)+(1-t)f(y)$};
\fill[blue!50!black] (2,2.3) circle(1pt);
\fill[blue!50!black] (2,1.31) circle(1pt) node[below right] {$M$};
\fill (0.5,1) node[below left] {$A$};
\fill (4,4) node[above right] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
Inégalité de convexité en Terminale: une définition équivalente
Le programme officiel stipule:
Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes. Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de ƒ’, la positivité de ƒ’’.
L’enseignant(e) est donc libre de définir une fonction convexe à l’aide de l’inégalité précédente ou de manière purement graphique.
Mais très souvent, on retient la propriété suivante:
Soit f une fonction deux fois dérivable.
f”(x) > 0 sur un intervalle I équivaut à dire que f est convexe sur I.
C’est en effet ce dernier résultat qui est, en pratique, utilisé car toutes les fonctions que nous étudions au lycée sont deux fois dérivables sur un intervalle judicieusement choisi.
Démontrer la convexité de la fonction carrée à l’aide de l’inégalité
Pour démontrer que la fonction f telle que \(f(x)=x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), nous allons prendre deux réels x et y, avec x < y. On a alors: $$\begin{align}f(tx+(1-t)y) & = (tx+(1-t)y)^2\\ & = t^2x^2 + (1-t)^2y^2 + 2t(1-t)xy \end{align}$$ et $$ tf(x) + (1-t)f(y) = tx^2+(1-t)y^2.$$
Ainsi, la différence est:$$ \begin{align} & f(tx+(1-t)y) -\big(tf(x) + (1-t)f(y)\big)\\ = & t^2x^2 + (1-t)^2y^2 + 2t(1-t)xy – tx^2-(1-t)y^2 \\ = & t(t-1)x^2+(1-t)(1-t-1)y^2+2t(1-t)xy\\=&t(t-1)x^2+t(t-1)y^2-2t(t-1)xy\\=&t(t-1)(x^2+y^2-2xy)\\=&t(t-1)(x-y)^2\end{align}$$
\(t\in[0;1]\) donc \(t-1\leq0\) et donc cette dernière différence est négative. Ce qui signifie donc que:$$\forall\ (x,y)\in \mathbb{R}^2,\ \forall t\in[0;1],\ f\big(tx+(1-t)y\big) \leq tf(x)+(1-t)f(y).$$
La fonction carré est donc convexe sur \(\mathbb{R}\).
