Préparer son devoir sur les nombres complexes, partie Algèbre

Voici quatre exercices qui permettrons aux élèves de Terminale S de préparer leur devoir sur les nombres complexes (première partie de la leçon : l’agèbre).

À travers ces exercices, tout ce qu’il y a à savoir est résumé.

Exercice 1

On considère le polynôme complexe: $$P(z)=z^3-\text{i} z^2- \text{i}z-1- \text{i}$$

1. Montrer que $\alpha=1+ \text{i}$ est une racine de P.
2. En déduire la valeur des nombres a, b et c tels que: $$P(z)=(z-\alpha)(az^2+bz+c).$$
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2+z+1=0$, puis en déduire toutes les solutions de l’équation $P(z)=0$.

Exercice 2

On considère les deux nombres complexes: $$z_1 = 2\left[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right]\qquad\text{et}\qquad z_2=-\sqrt{2}+ \text{i} \sqrt2.$$ On pose alors: $$Z = \frac{z_1}{z_2}.$$

1. Donner la forme algébrique de $z_1$.
2. Donner la forme trigonométrique, puis exponentielle de $z_2$.
3. Donner la forme algébrique de $(z_1)^6$. En déduire que pour tout entier naturel n, $(z_1)^{6n}$ est un réel.
4. Calculer |Z| et déterminer un argument de Z à $2\pi$ près.
5. Déterminer la forme algébrique de Z.
6. En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Exercice 3

Soit z un nombre complexe quelconque. On pose alors: $$z’ = \frac{z^2+\overline{z}^2}{2}.$$

1. Montrer que $z’\in\mathbb{R}$, quel que soit le nombre complexe z.
2. Comment choisir z pour que z‘ = 0 ?

Exercice 4

On pose $z_1=\text{e}^{\text{i}\theta_1}$ et $z_2=\text{e}^{\text{i}\theta_2}$.

1. Donner la forme algébrique de $z_1z_2$.
2. Donner la forme trigonométrique de $z_1z_2$.
3. En déduire une formule permettant de calculer $\cos(\theta_1+\theta_2)$ en fonction de $\cos\theta_1$, $\cos\theta_2$, $\sin\theta_1$ et $\sin\theta_2$.

Note

Dans la mesure où je n’ai pas fait de corrigé, si vous décidez de vous entraîner sur ces exercices, vous pouvez proposer à votre enseignant.e. (ou à toutes autre personne compétente) vos réponses.

Le sujet au format $\LaTeX$ est disponible ci-dessous: