Fonction génératrice de la suite de Fibonacci

Published by Stéphane Pasquet on

Dans cet article, nous allons trouver la fonction génératrice de la suite de Fibonacci, puis montrer une égalité toute mignonne au point qu’on aura envie de la blottir dans nos bras comme un petit chaton…

Fonction génératrice de la suite de Fibonacci: définition

Avant tout, permettez moi de vous rappeler ce qu’est la fonction génératrice d’une suite \((a_n)\). C’est la fonction égale à:

∑n⩾kanxn\sum_{n\geqslant k} a_nx^n

où k est le premier entier pour lequel \(a_n\) est défini.

Donc dans notre cas, la fonction génératrice est:

G(x)=∑n⩾0Fnxn,∀n⩾0, Fn+2=Fn+1+Fn, F0=0, F1=1.G(x)=\sum_{n\geqslant 0} F_nx^n\quad,\quad \forall n\geqslant0,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\ F_0=0,\ F_1=1.

On a alors, en multipliant par x:

xG(x)=∑n⩾0Fnxn+1xG(x)=\sum_{n\geqslant 0} F_nx^{n+1}

et en multipliant encore par x:

x2G(x)=∑n⩾0Fnxn+2.x^2G(x)=\sum_{n\geqslant 0} F_nx^{n+2}.

On en déduit alors que:

G(x)−xG(x)−x2G(x)=∑n⩾0Fnxn−∑n⩾0Fnxn+1−∑n⩾0Fnxn+2.G(x)-xG(x)-x^2G(x)=\sum_{n\geqslant 0} F_n x^n – \sum_{n\geqslant 0}F_nx^{n+1} – \sum_{n\geqslant 0}F_nx^{n+2}.

On peut aussi l’écrire de la manière suivante, pour se ramener à \(x^n\) dans la somme:

G(x)−xG(x)−x2G(x)=∑n⩾0Fnxn−∑n⩾1Fn−1xn−∑n⩾2Fn−2xnG(x)-xG(x)-x^2G(x)=\sum_{n\geqslant 0} F_n x^n – \sum_{n\geqslant 1} F_{n-1} x^n – \sum_{n\geqslant 2} F_{n-2}x^n

que l’on peut encore écrire sous la forme:

(1−x−x2)G(x)=F0+F1x−F0x+∑n⩾2(Fn−Fn−1−Fn−2)xn.(1-x-x^2)G(x)=F_0+F_1x-F_0x+\sum_{n\geqslant 2} \big(F_n -F_{n-1}-F_{n-2}\big)x^n.

Or, par définition,

∀n⩾2,Fn=Fn−1+Fn−2⟹Fn−Fn−1−Fn−2=0.\forall n\geqslant2,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \implies F_n-F_{n-1}-F_{n-2}=0.

Finalement, on obtient:

(1−x−x2)G(x)=x(1-x-x^2)G(x)=x

et donc:

G(x)=x1−x−x2.G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}.

Application

Comme nous sommes des fous-fous, on va prendre \(x=\frac{1}{10}\). Soyons dingues!

On obtient alors l’égalité:

∑n⩾0Fn10n=1101−110−1100=1089.\sum_{n\geqslant0} \frac{F_n}{10^n} = \dfrac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}} = \frac{10}{89}.

N’oublions pas que \(F_0=0\) et \(F_1=1\) donc l’égalité devient:

110+∑n⩾2Fn10n=1089⟹∑n⩾2Fn10n=1089−110=189.\frac{1}{10}+\sum_{n\geqslant2} \frac{F_n}{10^n} = \frac{10}{89} \implies \sum_{n\geqslant2} \frac{F_n}{10^n} = \frac{10}{89}-\frac{1}{10}=\frac{1}{89}.

Cela donne:

fonction génératrice suite Fibonacci
Catégories : Mathématiques
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