Comment effectuer une estimation du coût des courses à l’aide du théorème central limit ? En arrondissant à l’entier le prix de chaque article, on peut en effet avoir une idée du montant total de nos achats.
Coût des courses et Théorème Central Limit: un exemple
Avec les scannettes, vous n’aurez pas besoin de cette astuce car elle vous donne le prix total au fur et à mesure. Alors, imaginez que vous prépariez la liste de vos courses. Vous n’avez pas le prix exact de chaque article, mais uniquement un ordre de grandeur à l’euro près. À chaque article que vous inscrivez, vous ajoutez l’arrondi à l’unité de son prix (tantôt supérieur, tantôt inférieur).
Imaginez que vous avez 30 articles sur votre liste.
J’ai ici utilisé une approximation affine:
Maintenant, on multiplie par 0,3 ce dernier résultat:
Alors, la somme totale que vous avez obtenue en additionnant les arrondis diffèrent de 1,65 € du montant réel.
Certains prennent 0,25 à la place de 0,3 (pour faciliter les calculs), mais c’est légèrement moins précis (même si cela donne un bon ordre de grandeur pour ce que nous calculons – ici, on trouverait 1,375 à la place de 1,65).
Coût des courses et Théorème Central Limit: explications
Ceci est en relation avec le programme de Terminale, enseignement de Spécialité, mais le dépasse car nous allons parler de lois de probabilités continues.
Somme de variables aléatoires indépendantes
Notons :
les n variables aléatoires (V.A.) représentant la différence de prix entre l’arrondi choisi et le prix réel des n articles achetés.
Ces variables aléatoires sont indépendantes donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances:
Chaque V.A. suit la loi uniforme sur [-0,5 ; 0,5]. En effet, les centimes peuvent être mis aléatoirement de manière quasi-continue sur cet intervalle. QAinsi, la variance de chaque V.A. est égale à:
Quant à l’espérance, elle est égale à:
Posons:
On a alors:
par linéarité de l’espérance, et:
car les V.A. sont indépendantes.
On en déduit alors que l’écart-type est:
On arrive alors à la formule que nous avons appliqué dans l’exemple de la section précédente.
Mais où est le Théorème Central Limit (TCL) dans tout ça ?
Très bonne question, et je me félicite de l’avoir posé. En effet, nous n’avons pas encore parlé du TCL.
Le TCL stipule que la variable aléatoire « Somme » se comporte comme une V.A. suivant la loi normale d’espérance 0 et de variance 1/12.
Ainsi, pour 30 articles, l’écart-type est:
Dans un cas général, l’écart-type est:
On obtient alors la même formule que précédemment.
