Propriété du roi et calcul d'intégrales

Nous allons voir dans cet article ce qu’est la propriété du roi et l’utiliser dans un calcul d’une intégrale.

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Propriété du roi: énoncé et démonstrations

Enoncé de la propriété du roi

On peut énoncer la propriété du roi ainsi:

$\int_a^b f(x)\text{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\text{d}x$

Démonstration par changement de variable affine

Cette démonstration repose sur un changement de variable affine (hors programme du lycée).

On pose $u = a+b-x$, donc $x = a+b-u$ et $\text{d}x=-\text{d}u$. On a de plus:

u(a)=b\quad\text{et}\quad u(b)=a.

On a alors:

\begin{array}{rl} \displaystyle\int_a^b f(x)\text{d}x & = \displaystyle\int_b^a f(a+b-u)\big(-\text{d}u\big)\\ & = \displaystyle\int_a^b f(a+b-u)\text{d}u\\ & = \displaystyle\int_a^b f(a+b-x)\text{d}x. \end{array}

Démonstration niveau Terminale, enseignement de spécialité

Posons F(x) une primitive de f(x). Alors,

\int_a^b f(x)\text{d}x = F(b)-F(a).

$f(a+b-x)$ a pour primitive $-F(a+b-x)$. En effet, pour calculer la dérivée de -F(a+b-x), il faut considérer cette fonction comme de la forme –F(u) avec u = a+b–x, et donc u‘ = -1.

Alors,$$\big(-F(a+b-x)\big)’ = -u’ \times F'(u) = -(-1) f(a+b-x)=f(a+b-x).$$

Ainsi,

\int_a^bf(a+b-x)\text{d}x=-F(a+b-b)-\big(-F(a+b-a)\big)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)\text{d}x.

On obtient alors l’égalité souhaitée.

Application de la propriété du roi au calcul d’une intégrale

On souhaite calculer:

I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\cos x)\text{d}x + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\sin x)\text{d}x.

En utilisant la propriété du roi sur la première intégrale, on a:

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\cos x)\text{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-x \right) \right]\text{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\sin x)\text{d}x.

On a alors:

I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \big( \cos^2(\sin x) + \sin^2(\sin x) \big)\text{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1~\text{d}x=\frac{\pi}{2}.

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Propriété du roi et calcul d’intégrales

Published by Stéphane Pasquet on 9 juillet 20269 juillet 2026

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