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volume sphère intégrale

Pourquoi le volume d’une sphère est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ? Explications avec les intégrales

Volume d’une sphère avec une intégrale. Ceci est une sphère:

sphère

Si l’on considère que son rayon est égal à R alors son volume est \(\frac{4}{3}\pi R^3\)… mais pourquoi ?

Application de l’intégration par parties: somme infinie des inverses des carrés

Certes, le titre est long et peu compréhensible au premier abord, donc je vais clarifier l’objectif de cet article: proposer un exercice en Terminale montrant une application de l’intégration par parties pour calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).

pythontex-tools.sty

pythontex-tools.sty est un nouveau package. J’utilise de temps en temps pythontex pour compiler des documents mathématiques et je trouvais qu’il manquait un outil pour me permettre d’aller plus vite dans mes rédactions. N’en trouvant pas, je l’ai fait.

distance moyenne intégrale

Distance moyenne, intégrale et loi continue

Voici un problème que les élèves de Terminale pourront comprendre… si la notion de loi uniforme leur dit quelque chose…

distance moyenne entre deux points aléatoires

Distance moyenne entre deux points aléatoires d’un carré

Distance moyenne entre deux points aléatoires d’un carré: considérons un carré de côté 1 et plaçons en son intérieur deux points de manière aléatoire, et intéressons-nous à la distance moyenne entre les deux points.

Pourquoi le volume d’une boule est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ?

J’ai expliqué dans l’article précédent d’où venait la formule qui permet de calculer l’aire d’un disque. Il est donc naturel de passer à la dimension supérieure et de parler de boules…

Nous avons vu dans ce dernier article que l’outil d’intégration pouvait nous permettre d’effectuer une somme continue. Nous allons continuer d’utiliser cet outil en considérant, dans un repère orthonormé de l’espace, une sphère centrée en l’origine:

Boule de rayon r centrée en l’origine d’un repère orthonormé de l’espace

puis en considérant un disque parallèle au plan horizontal de hauteur h:

Disque coupant une boule à une hauteur de h.

L’idée est d’ajouter tous ces disques pour h variant de 0 à r ; ainsi, on aura la demi-boule supérieure. Le volume de la demi-boule supérieure est donc égal à:$$\mathcal{V}_{1/2}=\int_0^r \mathcal{A}(h)\text{d}h$$où \(\mathcal{A}(h)\) est l’aire du disque de hauteur h.

Le rayon p du disque de hauteur h est, d’après le théorème de Pythagore:$$p=\sqrt{r^2-h^2}.$$Ainsi,$$\mathcal{A}(h)=\pi \times p^2=\pi(r^2-h^2)$$et donc:$$\begin{align}\mathcal{V}_{1/2}&=\pi\int_0^r\left(r^2-h^2\right)\text{d}h\\&=\pi\left[r^2h-\frac{h^3}{3} \right]_0^r\\&=\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)\\&=\frac{2}{3}\pi r^3.\end{align}$$

Ayant le volume de la demi-boule, il ne reste plus qu’à le doubler pour obtenir celui de la boule; on obtient bien alors: $$\mathcal{V}_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\pi r^3.$$

Pourquoi l’aire d’un disque est égale à \(\pi r^2\) ?

Considérons un disque de rayon r. Nous allons rapporté le plan à un repère orthonormé d’origine O, et nous allons centrer notre disque en O.

Disque de centre O et de rayon r