Voici un problème que les élèves de Terminale pourront comprendre… si la notion de loi uniforme leur dit quelque chose…
Considérons un carré de côté 1 et plaçons en son intérieur deux points de manière aléatoire, et intéressons-nous à la distance moyenne entre les deux points.
J’ai expliqué dans l’article précédent d’où venait la formule qui permet de calculer l’aire d’un disque. Il est donc naturel de passer à la dimension supérieure et de parler de boules…
Nous avons vu dans ce dernier article que l’outil d’intégration pouvait nous permettre d’effectuer une somme continue. Nous allons continuer d’utiliser cet outil en considérant, dans un repère orthonormé de l’espace, une sphère centrée en l’origine:
puis en considérant un disque parallèle au plan horizontal de hauteur h:
L’idée est d’ajouter tous ces disques pour h variant de 0 à r ; ainsi, on aura la demi-boule supérieure. Le volume de la demi-boule supérieure est donc égal à:$$\mathcal{V}_{1/2}=\int_0^r \mathcal{A}(h)\text{d}h$$où \(\mathcal{A}(h)\) est l’aire du disque de hauteur h.
Le rayon p du disque de hauteur h est, d’après le théorème de Pythagore:$$p=\sqrt{r^2-h^2}.$$Ainsi,$$\mathcal{A}(h)=\pi \times p^2=\pi(r^2-h^2)$$et donc:$$\begin{align}\mathcal{V}_{1/2}&=\pi\int_0^r\left(r^2-h^2\right)\text{d}h\\&=\pi\left[r^2h-\frac{h^3}{3} \right]_0^r\\&=\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)\\&=\frac{2}{3}\pi r^3.\end{align}$$
Ayant le volume de la demi-boule, il ne reste plus qu’à le doubler pour obtenir celui de la boule; on obtient bien alors: $$\mathcal{V}_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\pi r^3.$$
Considérons un disque de rayon r. Nous allons rapporté le plan à un repère orthonormé d’origine O, et nous allons centrer notre disque en O.
Afin de déterminer l’aire du disque, considérons uniquement son enveloppe : le cercle de centre O et de rayon r :
Maintenant, considérons un point M sur ce cercle d’abscisse x > 0 et d’ordonnée y > 0. Alors, d’après le théorème de Pythagore,$$x^2+y^2=r^2.$$
Ainsi,$$y=\sqrt{r^2-x^2}.$$On peut donc considérer le quart de cercle supérieur droit comme la représentation graphique de la fonction $f$ définie par:$$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$$sur [0;r].
Pour connaître l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses et la courbe représentative de f sur [0;r], il existe un outil mathématique : l’intégration. L’aire cherchée est:$$I=\int_0^rf(x)\text{d}x=\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\text{d}x.$$
Pour calculer une intégrale, il faut connaître une primitive de la fonction, mais en terminale, nous ne connaissons pas de primitive à la fonction f. On va donc utiliser une méthode pour arriver à nos fins (qui n’est pas au programme de Terminale, rassurez-vous).
Nous allons d’abord écrire f(x) autrement:$$\sqrt{r^2-x^2}=r\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}.$$On peut ainsi écrire:$$I=r\int_0^r\sqrt{1-
\left(\frac{x}{r}\right)^2}\text{d}x.$$
Considérons alors une variable u telle que:$$u=\frac{x}{r}.$$Si x varie de 0 à r alors u varie de 0 à 1. De plus, si on considère u comme une fonction de x alors sa dérivée par rapport à x est:$$u'(x)=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1}{r}.$$On peut alors écrire:$$\text{d}x=r\text {d}u.$$Ainsi, si nous voulons exprimer l’intégrale I en fonction de u, on écrit:$$I=r\int_0^1\sqrt{1-u^2}r\text{d}u=r^2\int_0^1\sqrt{1-u^2}\text{d}u .$$
Maintenant, la variable d’intégration est u, et varie de 0 à 1. On peut donc dire que c’est un sinus (par exemple). Posons alors:$$u=\sin(t).$$Alors,$$\text{d}u=\cos(t)\text{d}t.$$De plus, si u varie de 0 à 1 alors t varie de 0 à \(\frac{\pi}{2}\), d’où:$$I=r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)\text{d}t=r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t)\text{d}t.$$En effet, \(\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\) donc \(1-\sin^2(t)=\cos^2(t)\); et comme t varie entre 0 et \(\frac{\pi}{2}\), son cosinus est positif donc \(\sqrt{\cos^2(t)})\cos(t)\) dans notre intégrale.
Il ne reste plus qu’à trouver une primitive de \(\cos^2(t)\). Pour cela, il faut se souvenir que:$$\cos(2t)=2\cos^2(t)-1$$et donc que:$$\cos^2(t)=\frac{1}{2}(\cos(2t)+1).$$Ainsi,$$\begin{align}I&=r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}(\cos(2t)+1)\text{d}t\\&=\frac{r^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(2t)+1)\text{d}t\\&=\frac{r^2}{2}\left[ \frac{1}{2}\sin(2t)+t\right]_0^{\pi/2}\\&=\frac{r^2}{2}\times\frac{\pi}{2}\\&=\frac{\pi r^2}{4}. \end{align}$$
L’aire du disque étant égale au quadruple de l’aire trouvée, on obtient finalement que l’aire du disque est égale à :$$\mathcal{A}_{\mathcal{D}}=4I=\pi r^2.$$
Pour un réel x quelconque de l’intervalle [0;r], le segment tracé a une longueur égale à f(x).
Trouver l’aire du quart de cercle revient à “additionner” la longueur de tous les segments obtenus en faisant varier x de 0 à r. Mais x est un nombre réel donc il existe une infinité de valeurs. On ne peut donc pas additionner “une à une” toutes ces longueurs. On dit que la somme n’est pas discrète (une somme discrète est une somme où l’on peut compter un à un tous ses termes, même s’il y en a une infinité, comme 1+2+3+…). La somme est qualifiée de continue. Et donc l’intégrale représente une somme continue.
Sur le schéma ci-dessus, il faut imaginer que l’on rapproche de plus en plus les segments jusqu’à ce qu’ils soient tous “collés”. Ils couvrent alors toute la surface. Ainsi, la somme de leurs longueurs sera égale à l’aire.
Avec cela, nous pouvons continuer et nous demander pourquoi le volume d’une boule est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) : c’est l’objet de l’article suivant.