Volume d’une boule avec une intégrale. Ceci est une boule:
Si l’on considère que son rayon est égal à R alors son volume est \(\frac{4}{3}\pi R^3\)… mais pourquoi ?
Plaçons-nous dans un repère orthonormé de l’espace et plaçons-y notre boule de sorte que son centre coïncide avec l’origine du repère :
Nous avons aussi introduit un point A de coordonnées (0;0;z), où z varie de –R à +R. Nous avons ensuite considéré le disque de centre A et de rayon r(z), section de la boule et du plan passant par A et parallèle au plan (xOy).
Le volume de la boule n’est autre que la somme des aires des disques pour z variant de –R à +R, somme infinitésimale donc que l’on peut prendre comme une intégrale:$$\mathcal{V}=\int_{-R}^{+R}\pi r(z)^2\text{d}z.$$
Il ne reste plus qu’à trouver l’expression de r(z)… et ce n’est pas trop compliqué car d’après le théorème de Pythagore, dans le triangle AOB:$$OB^2=OA^2+AB^2$$soit:$$R^2=z^2+\big[r(z)\big]^2$$d’où:$$r(z)^2=R^2-z^2.$$
Ça, c’est fait ! Il faut maintenant se pencher sur le calcul de l’intégrale:$$\begin{align}\mathcal{V}&=\pi\int_{-R}^{+R}(R^2-z^2)\text{d}z\\&=\pi\left[R^2z – \frac{1}{3}z^3\right]_{-R}^{+R}\\&=\pi\left[\left(R^3-\frac{1}{3}R^3\right) – \left(-R^3+\frac{1}{3}R^3\right)\right]\\&= \frac{4}{3}\pi R^3.\end{align}$$
On obtient alors la formule connue des collégiens ! Mystère résolu !
Pourquoi avoir introduit la variable h qui n’est définit nulle part ? Pour la compréhension de la démonstration, n’aurait-il pas été mieux de garder z ?
En effet, c’est plus clair.
Les variables d’intégration sont muettes.
Oui, c’était pour ça qu’au premier jet de l’article, je m’étais dit que je pouvais mettre ce que je voulais, mais pédagogiquement, il était tout de même préférable d’utiliser la même variable
Merci! Je veux dix milles sites comme ça
bonjour
les axes avec les pointes(en bleu vert et rouge )sont les axes du repére orthonormé) delasphère
je ne comprend pas pourquoi il ne coupe pas la sphére en 7 comme l axe à la pointe verte
merci pour votre réponse
Bonjour. C’est tout simplement dû à une illusion d’optique. Les traits en pointillés, par convention, désignent les parties cachées. Sur l’axe vert, vous pourrez constater que de -6 à -4, les traits ne sont pas en pointillés et donc que cette partie est AVANT la sphère. La sphère représentée a bien pour centre O et pour rayon 4.
Bonjour,
Juste un petit pb d’écriture.
Après la ligne : OB² = OA² + AB²
on lit : R² = z² + r(z)² que j’ai eu du mal à interpréter,
Il eût fallu écrire : R² = z² + (rz)², le z étant en indice.
Cordiales salutations.
Bravo pour la démo.
J BIAL DE BELLERADE.
Non, justement. « r » est une fonction dont la variable est « z », ce qui justifie l’écriture \( r(z) \). Cela dit, je peux l’écrire différemment avec des crochets.
Excusez-moi, mais comment fait-on pour passer d’une aire à un volume ? Est-ce la hauteur qui est infinitésimale ? Et donc nous ferions la somme d’une infinité de cylindres qui s’apparenterait à des disques ?
En l’occurrence, l’empilement infinitésimal de disques de rayons variables engendre la sphère, au même titre que l’empilement infinitésimal de disques de mêmes rayons engendre un cylindre. Je ne suis pas sûr d’avoir bien compris votre question 🙂
Merci pour cette démonstration. Juste l’appelation qui dérange, il s’agit d’une boule et non d’une sphère (la sphère est une surface) ou bien le volume délimité par la sphère.
Vous avez raison! Je viens de rectifier pour plus de précision. Merci!
Démonstration difficile à comprendre.