Mathématiques

equation degré 3

Équations polynomiales de degré 3

Les équations polynomiales de degré 3 sont de la forme : \[  ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]

Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]

où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.

Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).

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Par Stéphane Pasquet, il y a

Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman

Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]

Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :

  1. un cercle de rayon r;
  2. le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle;
  3. le cercle circonscrit au triangle équilatéral;
  4. le carré circonscrit au dernier cercle;
  5. le cercle circonscrit au carré;
  6. le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle;
  7. le cercle circonscrit au pentagone;
  8. l’hexagone circonscrit au dernier cercle;
  9. etc.

En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).

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Par Stéphane Pasquet, il y a

Chiffrement affine en Python

Le chiffrement affine est une méthode de chiffrement basée sur les fonctions affines… Mouais !

En d’autres termes, si x est le code d’une lettre sur un alphabet déterminé alors cette dernière sera transformée en une autre lettre dont le code est égal à ax+b mod n (où n est le nombre de caractères de l’alphabet choisi et où a et b sont deux entiers strictement inférieurs à n).

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Par Stéphane Pasquet, il y a