Les équations polynomiales de degré 3 sont de la forme : \[  ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]

Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]

où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.

Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).

Équations polynomiales de degré 3: transformation de Tschirnhaus

Dans un premier temps, nous allons transformer l’équation (1) : \[ (1)  \iff x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0. \]

On pose alors \(x=X-\displaystyle\frac{b}{3a}\) : \[ \begin{align*} & (1)\\ \iff & \left(X-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(X-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(X-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0\\ \iff & X^3-\frac{b}{a}X^2+\frac{b^2}{3a^2}X-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b}{a}\left(X^2-\frac{2b}{3a}X+\frac{b^2}{9a^2}\right)+\frac{c}{a}X\\ & -\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\ \iff &  X^3+\left(\frac{b^2}{3a^2}-\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)X-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\ \iff & X^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0\end{align*} \]

On peut donc simplifier l’équation (1) en : \[ X^3+pX+q=0\qquad (2) \]

avec : \[ \left\{\begin{array}{l}p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\[10pt]q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{array}\right.\]

Équations polynomiales de degré 3: méthode de Hudde

La méthode de Hudde consiste à poser dans l’équation (2) : \[ X = u+v \]

en remarquant l’égalité suivante : \[ (u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3.\]

On a alors : \[ (u+v)^3-u^3-3u^2v-3uv^2-v^3=0.\]

On en déduit alors : \[ (u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0,\]

soit : \[ X^3-3uvX-(u^3+v^3)=0.\qquad (3) \]

Pour que les équations (2) et (3) soient semblables, on pose alors : \[\left\{\begin{array}{l}p=-3uv\\q=-(u^3+v^3)\end{array}\right.\]

soit : \[\left\{\begin{array}{l}uv=-\frac{p}{3}\\u^3+v^3=-q\end{array}\right.\]

ou encore : \[\left\{\begin{array}{l}u^3v^3=-\frac{p^3}{27}\\u^3+v^3=-q\end{array}\right.\]

Équations polynomiales de degré 3: formule de Cardan-Tartaglia

En posant \(U=u^3\) et \(V=v^3\), on s’aperçoit que l’on doit chercher deux nombres U et V connaissant leur somme S et leur produit P. Ainsi, U et V sont solutions de l’équation : \[ Y^2-SY+P=0,\]

soit : \[ Y^2+qY-\frac{p^3}{27}=0.\qquad (4) \]

Le discriminant du polynôme \(Y^2+qY-\frac{p^3}{27}\) est : \[ \Delta = q^2+\frac{4p^3}{27}.\]

Pour que l’équation (4) ait au moins une solution, il faut que \(\Delta\geq 0\), soit : \[ 27q^2+4p^3 \geq 0.\]

Sous cette dernière condition, on a : \[ U=\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}\qquad\text{et}\qquad V=\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}.\]

Et donc : \[ u=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}\qquad\text{et}\qquad v=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}.\]

Ainsi, une solution à l’équation (2) est : \[ X=u+v=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}.\]

Équations polynomiales de degré 3: un exemple au hasard (ou presque …)

Considérons l’équation : \[ (E)\ :\ 2x^3-5x^2+4x-21=0.\]

On pose alors : \[ \left\{\begin{array}{l}p=\frac{3\times2\times4-(-5)^2}{3\times2^2}=\frac{-1}{12}\\q=\frac{2\times(-5)^3-9\times2\times(-5)\times4+27\times2^2\times(-21)}{27\times2^3}=-\frac{2158}{216}\end{array}\right.\]

Ainsi : \[ (E)\Leftrightarrow X^3-\frac{1}{12}X-\frac{1079}{108}=0.\]

On a alors : \[\Delta=\sqrt{\frac{2695}{27}}\approx 9,99073645.\]

Et donc : \[\begin{align*}u \approx 0,012897285\\v \approx 2,153769382\end{align*}\]

soit : \[ X=u=v\approx 2,166666667\]

et donc, finalement : \[ x=X+\frac{5}{6}=3.\]

Si on remplace x par 3 dans (E), on vérifie bien que x = 3 est une de ses solutions.

Une étude de Bombelli

Bombelli a étudié l’équation : \[ X^3-15X-4=0.\]

Il a obtenu : \[ \Delta = -13608\]

tt donc : \[ X=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\]

que l’on peut aussi écrire, en faisant fi du fait que l’on ait un radicant négatif pour la racine carrée : \[ X=\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}.\]

Bombelli s’est alors aperçu que : \[ \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=2-\sqrt{-1}\qquad\text{et}\qquad \sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}=2+\sqrt{-1}.\]

Ainsi : \[ X=2-\sqrt{-1}+2+\sqrt{-1}=4.\]

Ainsi, en concevant que \(\sqrt{-1}\) existe, il s’aperçut que cela ne gênait pas les calculs, qui menaient tout de même à une solution.

C’est ainsi que les nombres complexes firent leur apparition, nombres s’écrivant sous la forme \(a+b\sqrt{-1}\) ou, en posant \(\text{i}=\sqrt{-1}\), \(a+\text{i}b\).

Algorithmique

Comme vous l’avez constaté, les calculs peuvent être assez fastidieux. Nous pouvons donc avoir recours à un algorithme pour déterminer une solution. Je vous en propose un dans le fichier PDF. Les abonné.e.s à ce site auront la possibilité d’avoir cet algorithme (sous Algobox) dans le fichier zippé.

Les sources \(\LaTeX\) du document PDF :

Une fonction Python pour trouver une solution (dans le cas où le discriminant est positif ou nul) est:

def resol(a,b,c,d):
    p = (3*a*c - b*b) / (3*a*a)
    q = (2*(b**3)-9*a*b*c + 27*a*a*d)/(27*(a**3))
    delta = (27*q*q + 4*(p**3))/27
    if delta >= 0:
        u = (-q - delta**0.5)/2
        v = (-q + delta**0.5)/2
        s = u/2
        for _ in range(50):
            s = ( 2*s + u/(s*s) )/3
        u = s
        s = v/2
        for _ in range(50):
            s = ( 2*s + v/(s*s) )/3
        v = s
        s = u + v - b/(3*a)
        
        return s
    else:
        return "Le recours aux nombres complexes s'impose."

>>> resol(2,-5,4,-21)
2.9999999999992792

On retrouve (presque) la solution précédemment trouvée, qui était « 3 ».