Archive de l’étiquette Equations

Les problèmes de Sam Loyd

Sam Loyd (1841 – 1911) est ce que je pourrais appeler un \”récréateur de problèmes mathématiques” : il a créé des problèmes mathématiques se voulant récréatifs.

Vous connaissez le jeu du taquin ? Et bien, c’est Sam Loyd qui popularisa ce jeu.

En voici quelques uns que je trouve intéressants.

Équations polynomiales de degré 3

Considérons l’équation polynomiale de degré 3 suivante : \[  ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]

Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]

où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.

Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).