Je suis tombé sur une vidéo dans laquelle on demande de résoudre l’équation:$$4^x+6^x=9^x$$ d’inconnue réelle \(x\). Cette équation, au demeurant compliquée, n’est en définitive pas si compliquée à résoudre que ça… mais comme toujours en mathématiques, tout dépend de l’intuition que l’on a face à un problème jamais rencontré.

Voici la résolution: $$\begin{align} 4^x+6^x=9^x & \iff 1 + \frac{6^x}{4^x} = \frac{9^x}{4^x}\\ & \iff 1+ \left(\frac{6}{4}\right)^x = \left(\frac{9}{4}\right)^x\\ & \iff 1+\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left[\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]^x\\&\iff 1+ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} \end{align}$$

En posant \(X = \displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^x \), on obtient l’équation:$$X^2-X-1=0$$dont les solutions sont:$$X_1=\frac{1-\sqrt5}{2}$$et$$X_2=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$Or, \(X_2<0\) ce qui l’exclut de l’ensemble des solutions car \(X = \displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^x > 0\). Ainsi,$$\begin{align} X =\frac{1+\sqrt5}{2} & \iff \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1+\sqrt5}{2} \\&\iff \ln \left[ \left(\frac{3}{2}\right)^x\right] = \ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\\&\iff x\ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\\&\iff x=\frac{ \ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right) }{\ln \left(\frac{3}{2}\right) }\end{align}$$

Voici la vidéo dont je parlais au début: