Les problèmes de Sam Loyd

Les problèmes de Sam Loyd

Sam Loyd (1841 – 1911) est ce que je pourrais appeler un \”récréateur de problèmes mathématiques” : il a créé des problèmes mathématiques se voulant récréatifs.

Vous connaissez le jeu du taquin ? Et bien, c’est Sam Loyd qui popularisa ce jeu.

En voici quelques uns que je trouve intéressants.

 

Le jeu de massacre

 

Comment marquer 50 points ?

Nous avons les choix suivants pour marquer des points :

3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 19 – 21 – 25 – 27 – 30

  • Si on prend en 1er “30”, il nous faudrait obtenir 20 points, ce qui est impossible car :
    • 20=19+1 mais “1” n’est pas présent dans nos choix ;
    • 20=15+5 mais “5” ne peut pas être obtenu ;
    • 20=12+8 mais “18” ne peut pas être obtenu ;
    • 20=9+11 mais “11” ne peut pas être obtenu ;
    • 20=6+14 mais “14” ne peut pas être obtenu ;
    • 20=3+17 mais “18” ne peut pas être obtenu.
  • Si on prend en 1er “27”, il nous faudrait obtenir 23 points, ce qui est impossible (en suivant le même raisonnement que précédemment) ;
  • Si on prend en 1er “25”, il nous faudrait obtenir 25 points, ce qui est possible en faisant : 25=19+6.

On obtient donc 50 points en visant le 25, le 19 et le 6.

L’agent mathématicien

“Bien le bonjour, monsieur l’agent, dit Mr Mc Guire. Pouvez-vous me dire l’heure ?”

“Mais bien sûr, répondit l’agent qui avait une réputation de mathématicien. Ajoutez au quart du temps depuis minuit, la moitié du temps jusqu’à minuit et vous aurez l’heure exacte.”

Quelle heure est-il donc ?

Notons h l’heure exacte.

On a alors l’équation : \[ \frac{1}{4}h+\frac{1}{2}(24-h)=h\;, \]

soit : \[ \frac{1}{4}h-\frac{1}{2}h-h=-12\;, \]

ou encore : \[ h=\frac{48}{5}=9,6=9~h+0,6\times60~\text{min}. \]

Il est donc exactement 9 h 36 min.

Quel est l’âge de Pocahontas ?

Smith, le fermier, et sa femme ont eu quinze enfants, nés à un an et demi d’intervalle.

Pocahontas, la plus âgée des enfants prétend être huit fois plus âgée que Captain John, le plus jeune de la couvée.

Quel est l’âge de Mademoiselle Pocahontas ?

Notons a l’âge de Captain John.

Alors, l’âge de Pocahontas est : \[ a+1,5\times14=a+21. \]

On sait aussi que l’âge de Pocahontas est 8 fois celui de Captain John, donc : \[ a+21=8a\qquad\text{soit}\qquad a=3. \]

Pocahontas a donc 24 ans.

Les trois mendiants

Une dame charitable rencontre un pauvre auquel elle donne la moité de l’argent qu’elle avait dans son porte-monnaie plus un franc. Le pauvre, qui est membre de l’association des mendiants unifiés, réussit en la remerciant à dessiner à la craie le signe de remerciement de l’association sur ses vêtements, ce qui permit à la dame de mener à bien son oeuvre de charité au cours du reste de sa promenade.

Au deuxième solliciteur, elle donna la moitié de ce qui lui restait plus deux francs.

Au troisième, elle donna la moitié de ce qui lui restait plus trois francs.

À présent, il lui reste un seul franc.

Combien avait-elle au début de sa promenade ?

Notons x la somme que cette dame possédait au début de sa promenade.

Alors, après le premier mendiant, il lui reste : \[ x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)=\frac{1}{2}x-1. \]

Après le second, il lui reste : \[ \begin{align*} \frac{1}{2}x-1-\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x-1\right)+2\right] & =\frac{1}{2}x-1-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-2\\  & = \frac{1}{4}x-\frac{5}{2}. \end{align*} \]

Après le troisième, il lui reste : \[ \begin{align*} \frac{1}{4}x-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}x-\frac{5}{2}\right)-3 & = \frac{1}{4}x-\frac{5}{2}-\frac{1}{8}x+\frac{5}{4}-3\\ & = \frac{1}{8}x-\frac{17}{4}. \end{align*} \]

S’il ne lui reste qu’un franc, alors : \[ \frac{1}{8}x-\frac{17}{4}=1, \]

soit : \[ x=\left(1+\frac{17}{4}\right)\times8=42. \]

La dame avait donc 42 francs au début de sa promenade.

Quel est l’âge de ce garçon ?

“Quel est l’âge de ce garçon ?”  demanda le contrôleur.

Le banlieusard, flatté de l’intérêt que l’on porte à sa famille, répondit : “Mon fils est cinq fois plus âgé que ma fille, ma femme est cinq fois plus âgée que mon fils, et je suis deux fois plus vieux que ma femme, tandis que ma grand-mère dont l’âge égale la somme de nous tous, fête aujourd’hui son quatre-vingt-et-unième anniversaire.”

Quel était l’âge de ce garçon ?

Notons :

  • s l’âge du fils ;
  • g l’âge de la fille ;
  • f  l’âge du père ;
  • l’âge de la mère.

Ainsi,

  • = 5g ;
  • = 5s ;
  • f=2m ;
  • 81 = + + + f.

De la dernière égalité, on déduit : \[ 81=s+5s+\frac{1}{5}s+10s \]

soit :  \[ 81=\frac{81}{5}s \]

et donc : \[ s=5. \]

Le garçon a donc 5 ans.

Le poids du bébé

Madame O’Toole est très économe. Elle essaye de se peser ainsi que son chien et son bébé avec une seule   pièce (à l’époque de Sam Loyd, on pouvait aller à la pharmacie pour se peser, mais il fallait introduire une pièce pour que la balance fonctionne). La balance indique 170 livres. Si elle pèse cent livres de plus que le chien et le bébé réunis, et si le chien pèse soixante pour cent de moins que le bébé, combien pèse le cher ange ?

Notons :

  • x le poids (en livres) de Madame O’Toole ;
  • y le poids (en livres) de son chien ;
  • z le poids (en livres) de son bébé.

Alors,

  1. + + = 170 ;
  2. = 100 + + z ;
  3. = 0,4(60% de moins que le bébé signifie 40% du poids du bébé).

L’égalité 2. donne, en considérant l’égalité 3. : \[ x=100+0,4z+z=100+1,4z. \]

Ainsi, l’égalité 1. donne, avec cette nouvelle égalité : \[ 100+1,4z+0,4z+z=170 \]

soit :\[ 2,8z=70. \]

On trouve alors = 25.

Le bébé pèse donc 25 livres.

Le problème du nénuphar

Un nénuphar se trouve à 10 cm au-dessus de la surface de l’eau. Si on le tire de côté, il disparaît à 21 cm de l’endroit où il se trouvait.

Quelle est la profondeur de l’eau ?

La schématisation du problème est la suivante :

 

Dans APN’ rectangle en A : \[ PN’^2=21^2+h^2. \]

Or,  \[ PN’=PN=h+10. \]

Donc : \[ (h+10)^2=21^2+h^2,\]

soit : \[ 20h+10^2=21^2. \]

On en déduit alors que : \[ 20h=21^2-10^2=(21-10)(21+10)=11\times31=341.\]

Ainsi,  \[ h=341\div20=17,05. \]

La hauteur de l’eau est donc de 17,05 cm.

Le problème de l’étameur

Cet étameur vient de terminer la fabrication de ce récipient à fond plat de 18 cm de profondeur et dont la contenance est de vingt-cinq litres.

Qui pourra nous indiquer le diamètre du haut de ce récipient sachant qu’il est le double de celui du fond?

Le schéma du récipient est le suivant :

 

D’après le théorème de Thalès, \[ \frac{SB}{SA}=\frac{r}{2r}  \]

donc :  \[ \frac{SA-18}{SA}=\frac{1}{2}. \]

On en déduit alors : \[ 1-\frac{18}{SA}=\frac{1}{2}\;, \]

soit : \[ \frac{18}{SA}=\frac{1}{2} \]

et donc : \[ SA=36.\]

Le volume (en centimètres cubes) du cône de sommet S et de base le cercle de centre A est : \[ \mathcal{V}_A=\frac{1}{3}\pi\times(2r)^2\times36=48\pi r^2. \]

Le volume (en centimètres cubes) du cône de sommet S et de base le cercle de centre A est : \[ \mathcal{V}_B=\frac{1}{3}\pi\times r^2\times18=6\pi r^2. \]

Le volume (en centimètres cubes) du récipient est donc : \[ \mathcal{V}=\mathcal{V}_A-\mathcal{V}_B=42\pi r^2. \]

On sait que : \[ \mathcal{V}=25~L=25000~\text{cm}^3$, \] donc : \[ 42\pi r^2= 25000\qquad\text{soit}\qquad r^2=\frac{25000}{42\pi}. \]

On obtient alors : \[ r\approx13,76. \]

Le diamètre du haut du récipient est donc de 27,5 cm.

Le problème du marché

Un fermier et son épouse vont au marché échanger leurs poulets pour du bétail au taux de 85 poulets pour un cheval et une vache, 5 chevaux valant exactement autant que 12 vaches.

“John, dit la femme, prenons encore une fois autant de chevaux que nous en avons déjà pris. Nous n’aurons ainsi que 17 chevaux et vaches à nourrir cet hiver.”

“Je crois que nous devrions avoir plus de vaches que cela dit John. D’ailleurs, si nous avions 2 fois plus de vaches que jusqu’à maintenant, cela nous ferait 19 vaches et chevaux en tout et nous aurions juste assez de poulets à donner en échange.”

Combien les paysans ont-ils apporté de poulets au marché?

La première phrase nous dit que : \[ 85~\text{poulets}=1~\text{cheval}+1~\text{vache} \]

et \[ 5~\text{chevaux}=12~\text{vaches}. \]

On en déduit alors : \[ 5\times85~\text{poulets}=5~\text{chevaux}+5~\text{vaches} \]

soit : \[ 425~\text{poulets}=17~\text{vaches}\qquad\text{soit}\qquad1~\text{vache}=25~\text{poulets}. \]

Et donc, \[ 5~\text{chevaux}=12~\text{vaches}=12\times25~\text{poulets}=300~\text{poulets} \]

donc : \[ 1~\text{cheval}=60~\text{poulets}. \]

Notons maintenant :

  • x le nombre de chevaux que le couple a déjà achetés ;
  • y le nombre de vaches que le couple a déjà achetées.

Le dialogue entre le mari et la femme donne alors le système :  \[ \begin{cases} 2x+y=17\qquad(L_1)\\ x+2y=19\qquad(L_2) \end{cases} \]

\(2(L_2)-(L_1)\) donne :  \( 3y=38-17 \), soit = 7.

\(2(L_1)-(L_2)\) donne : \(3x=34-19\), soit = 5.

Le couple a donc déjà acheté 5 chevaux et 7 vaches.

Ainsi, s’il achète 7 vaches, il lui faut : \[ 7\times25~\text{poulets}=175~\text{poulets}. \]

Les paysans ont donc amené 175 poulets.

Le puzzle du lac

Le lac est la partie entre les trois carrés dont les surfaces sont respectivement 370 acres, 74 acres et 116 acres.

Quelle est l’aire du lac ?

Les côtés du lac on pour mesure : \[ a=\sqrt{370},\ b=\sqrt{116},\ c=\sqrt{74}. \]

Avec la formule de Héron, on calcule l’aire du triangle : \[ \mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\;, \qquad  p=\frac{a+b+c}{2}. \]

On obtient : \[ \mathcal{A}=11. \]

L’aire du lac est donc de 11 acres.

Comptez les voix

Lors d’un vote, 5219 bulletins furent déposés dans une urne. Le vainqueur battait ses trois concurrents de respectivement 22, 30 et 73 voix. Cependant, personne ne put déterminer exactement le nombre de voix obtenues par chaque candidat. Pouvez-vous le faire ?

Notons n le nombre de voix obtenues par le vainqueur.

On arrive à l’équation : \[ n+(n-22)+(n-30)+(n-73)=5219\;, \] soit: \[4n-125=5219. \]

On trouve alors : \[ n=\frac{5219+125}{4}=1336. \]

Le nombre de voix obtenues par les quatre candidats sont respectivement 1336, 1263, 1306 et 1314.

Quel est l’âge de Fido ?

Charley Slowpop était sur le point de faire sa demande en mariage à son amie, lorsque le petit frère de celle-ci et son chien Fido entrèrent dans le salon.

“Tu ne peux pas connaître l’âge d’un chien à son collier, dit l’enfant terrible. Mais il y a cinq ans, ma sœur était cinq fois plus âgée que Fido et à présent, elle est trois fois plus âgée que lui !”

Charley Slowpop est très curieux de savoir l’âge de Fido. Pouvez-vous l’aider?

Notons f l’âge de Fido et s celui de la sœur à notre époque.

  • Il y a 5 ans, – 5 = 5( – 5 ), donc = 5f-20.
  • À présent, = 3f.

De ces deux égalités, on obtient : \[ 5f-20=3f\qquad\text{soit}\qquad f=10. \]

Fido a donc 10 ans.

Le problème du messager

Un problème ancien, que l’on trouve dans de nombreux vieux livres de problèmes, concerne une armée de cinquante kilomètres de long.

Alors que l’armée avance à une vitesse constante, un messager part de l’arrière-garde de l’armée, galope pour aller délivrer un message à l’avant, puis revient à l’arrière garde.

Il arrive à l’arrière garde exactement au moment où l’armée a parcouru cinquante kilomètres.

Quelle est la distance totale parcourue par le messager ?

Notons :

  • \(v_A\) la vitesse de l’armée ;
  • \(v_c\) la vitesse du cavalier;
  • \(t_1\) le temps “aller” du cavalier ;
  • \(t_2\) le temps “retour” du cavalier ;
  • \(d_a\) la distance parcourue à l’ “aller” pour le cavalier ;
  • \(d_r\) la distance parcourue au “retour” pour le cavalier ;
  • \(d_a^\prime\) la distance parcourue à l’ “aller” par l’armée ;
  • \(d_r^\prime\) la distance parcourue au “retour” par l’armée.

On peut représenter la situation à 3 instants :

 

On sait que :

  1. \(v_A=\frac{50}{t_1+t_2}\) car l’armée parcourt 50 km en \(t_1+t_2\) heures. Donc, \(t_1+t_2=\frac{50}{v_A}\).
  2. \(d_a=d_a^\prime+50\) car le cavalier est à 50 km de la tête de l’armée.
  3. \(d_r=50-d_r^\prime\).

Le point 2. nous dit que, comme \(v_c=\frac{d_a}{t_1}\) et \(v_A=\frac{d_a^\prime}{t_1}\), on a : \[ v_ct_1=v_At_1+50\qquad\text{soit}\qquad t_1=\frac{50}{v_c-v_A}. \]

Le point 3. nous dit de même que : \[ v_ct_2=50-v_At_2\qquad\text{soit}\qquad t_2=\frac{50}{v_c+v_A}. \]

Le point 1. nous donne alors : \[ \begin{align*} & \frac{50}{v_c-v_A}+\frac{50}{v_c+v_A}=\frac{50}{v_A}\\ \iff & \frac{2v_c}{v_c^2-v_A^2}=\frac{1}{v_A}\\ \iff & 2v_cv_A=v_c^2-v_A^2\\ \iff & v_c^2-2v_cv_A-v_A^2=0\\ \iff & \frac{v_c^2}{v_A^2}-2\frac{v_c}{v_A}-1=0\qquad\text{en divisant par }v_A^2\\ \iff &V^2-V-1=0\qquad\text{en posant }X=\frac{v_c}{v_A} \end{align*} \]

Le discriminant du polynôme \(X^2-2X-1\) est \(\Delta=8\) donc il y a deux solutions: \[ V=1-\sqrt{2}<0\qquad\text{ ou }\qquad V=1+\sqrt{2}>0. \]

\(v_A\) et \(v_c\) étant de même signe, \(V>0\) donc \(V=1+\sqrt{2}\).

Ainsi, \(v_c=(1+\sqrt{2})v_A\).

On en déduit alors que : \[ t_1=\frac{50}{(1+\sqrt{2})v_A-v_A}=\frac{50}{\sqrt{2}v_A} \] soit \[ d_a=t_1v_c=\frac{50(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=25(2+\sqrt{2}) \] et \[ t_2=\frac{50}{(1+\sqrt{2})v_A+v_A}=\frac{50}{(2+\sqrt{2})v_A}\] soit \[ d_r=t_2v_c=\frac{50(1+\sqrt{2})}{2+\sqrt{2}}=25\sqrt{2}. \]

La distance parcourue par le cavalier est donc \(d_a+d_r=50(1+\sqrt{2})\).

Le cavalier aura donc parcouru à peu près 120,71 kilomètres.

Le prix des œufs

“J’ai payé douze centimes les œufs que j’ai achetés chez l’épicier – expliquait le cuisinier – mais je lui ai demandé d’en ajouter deux gratuitement parce qu’ils étaient trop petits. J’ai donc payé mes œufs un centime de moins par douzaine.”

Combien d’œufs a acheté le cuisinier ?

Notons n le nombre d’œufs et p le prix normal d’un œuf.

On a d’une part : \[ 12=np\;,\qquad\text{donc} \qquad p=\frac{12}{n}\;, \]

car np désigne le prix de n œufs.

D’autre part, nous savons que le prix réellement payé d’un œuf est : \[ \frac{12}{n+2}. \]

Ainsi, \[ \frac{12}{n+2}\times12=12\times\frac{12}{n}-1. \]

Cette dernière équation nous donne : \[ \frac{144}{n+2}=\frac{144-n}{n} \]

soit : \[ 144n=(144-n)(n+2)\;,\]

ou encore : \[ n^2+2n-288=0. \]

Le discriminant du polyôme \(n^2-2n-288\) est : \[ \Delta=2^2-4\times1\times(-288)=1156\]

donc il existe deux valeurs de n possibles : \[ n_1=\frac{-2-\sqrt{1156}}{2}=-18 \] et \[ n_2=\frac{-2+\sqrt{1156}}{2}=16. \]

Une seule est possible car > 0.

Le cuisinier a donc acheté en tout 18 œufs (16 + 2 gratuits).

 

Les deux dindes

“Ces deux dindes pèsent 20 livres à elles deux “, dit le boucher.

“La plus petite coûte 2 centimes de plus à la livre que la grande.”

Mme Smith a payé 82 centimes pour la petite et Mme Brown 2,96 Francs pour la grande.

Combien pesaient-elles chacune ?

Posons :

  • x le poids (en livres) de la plus petite dinde ;
  • y le poids (en livres) de la plus grosse dinde.

On a alors :

  1. + = 20, ou encore = 20 – y ;
  2. On a : \[\frac{82}{x}=2+\frac{296}{y},\] soit: \[\frac{82}{x}=\frac{2y+296}{y}\] ou encore : \[82y=x(2y+296)=(20-y)(2y+296).\] En développant, on obtient l’équation : \[ 2y^2+338y-5920=0\] soit : \[ y^2+169y -2960=0.\] Le discriminant du membre de gauche de cette équation est : \[ \Delta=169^2-4\times1\times(-2960)=40401=201^2.\] Il y a donc deux solutions à l’équation : \[ y_1=\frac{-169-201}{2}<0\text{ donc impossible pour notre problème} \] et \[ y_2=\frac{-169+201}{2}=16. \] Ainsi, = 16 et = 20-16 = 4.

La plus grosse dinde pèse donc 16 livres et la plus petite, 4 livres.

Combien y a-t-il de triangles sur le sceau ?

Le petit Tommy Riddles annonce que le roi Puzzlepate et la princesse Enigme cherchent le secret du sceau du roi Salomon, qui est gravé sur sa tombe. Le roi essaye de trouver le nombre de triangles équilatéraux que l’on voit sur le motif. Quel est votre avis ?

  • Il y a d’abord le triangle extérieur (le plus grand) ;   (1)
  • il y a ensuite les 4 triangles intérieurs (dont un central qui contient plein de petits triangles) ; (4)
  • dans le triangle intérieur, il y a 16 petits triangles ; (16)
  • dans le triangle intérieur, il y a 7 triangles formés de 4 petits triangles ; (7)
  • dans le triangle intérieur, il y a 3 triangles formés de 9 petits triangles ; (3)

 Il y a donc 31 triangles équilatéraux en tout.

Des timbres pour un franc

La dame tend un franc à l’employé et dit : “Donnez-moi quelques timbres à deux centimes, dix fois autant de timbres à un centime et le reste en timbres à cinq centimes.”

Comment remplir cette commande ?

Notons x le nombre de timbres à 2 centimes et y le nombre de timbres à 5 centimes. Alors, \[ 2x+10x+5y=100 \] soit : \[ 12x+5y=100.\]

On teste alors différentes valeurs de x pour trouver la valeur de y correspondant :

  • x = 1 :  5= 100 – 12 = 88, donc pas de valeur entière possible pour y;
  • x = 2 : 5= 100 – 24 = 76, donc pas de valeur entière possible pour y;
  • x = 3 : 5= 100 – 36, donc pas de valeur entière possible pour y;
  • x = 4 : 5= 100 – 48 = 52, donc pas de valeur entière possible pour y;
  • x = 5 : 5= 100 – 60 = 40, donc = 8.

Il y a donc 5 timbres à 2 centimes, 50 timbres à 1 centime et 8 timbres à 5 centimes.

Le poids d’une brique

Si une brique est équilibrée par les trois quarts d’une brique et trois quarts d’une livre, combien pèse cette brique ?

Posons x le poids (en livres) d’une brique. Alors, \[ x=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4} \]

soit : \[ \frac{1}{4}x=\frac{3}{4} \]

donc = 3.

Une brique pèse donc 3 livres.

Problème d’écoliers

Jennie, la meilleure élève de la classe, expose un intelligent casse-tête à Joe, son camarade de classe. Après avoir dessiné six petits cercles sur la palissage, elle lui dit : “Maintenant tu ne vois que deux rangées de trois cercles. Je veux que tu effaces un des cercles et que tu le redessines quelque part sur la palissade pour qu’il y ait quatre rangées de trois cercles.”

Voici un schéma des 6 cercles dessinés sur la palissade :

 

Le cercle non aligné avec les autres doit être placé comme suit :

 

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Stéphane Pasquet
Stéphane Pasquet

Auteur de livres parascolaires en mathématiques

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