C’est un classique dans l’étude des suites : on considère une fonction f et on définit une suite par son premier terme \(u_0\) et par la relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout entier naturel n.
Voyons cela avec l’exemple où \(f(x)=\frac{ax+b}{x^2-3x+2}\)…
Avec le programme 2020 de NSI, les enseignant.e.s et élèves trouveront plutôt appréciable le fait d’avoir un serveur SQL sur son ordinateur personnel afin de tester différentes actions.
Considérons la configuration suivante :
Dans le repère orthonormé d’origine O, A(x;y) est un point quelconque et A'(x’;y’) est son image par la rotation de centre O et d’angle \(\theta\). On cherche à exprimer x’ et y’ en fonction de x, y et \(\theta\)…
Dans cet article, nous allons manipuler les chaînes de caractères ainsi que les dictionnaires en Python.
Cette tâche semble simple, mais pas tant que ça en définitive… Je voulais en effet créer une commande \(\LaTeX\) acceptant un paramètre (un nombre entier) qui décompose ce dernier en produit de facteurs premiers, et ce à l’aide de Python.
Il est donc naturel de penser à Pythontex. ça, c’est bon… Le problème est que quand on utilise Pythontex, on ne peut pas facilement passer un argument. Je m’explique… avec un code FAUX :
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{pythontex}
\newcommand{\decomp}[1]{
\py{decompose(#1)}
}
\begin{document}
\decomp{120}
\end{document}
Ce script suppose connue la fonction Python decompose (préalablement définie). Le problème ici est que l’argument #1 ne passe pas… Ce code ne donne donc rien d’autre qu’une erreur.
Il faut donc utiliser une astuce… que voici:
\newcommand{\ifactors}[1]{
\begingroup\edef\x{\endgroup
\noexpand\py{decompose(#1)}}\x}
Ensuite, j’ai voulu enrichir la macro \ifactors de sorte à ce qu’elle puisse afficher en ligne ou en colonne la décomposition comme ceci :
Cette idée m’est venue suite à un échange avec un abonné qui avait des difficultés à faire appel à Xcas pour cette même décomposition (outil inclus dans mon package pas-cours.sty). Il est vrai que faire tourner Xcas dans un document\(\LaTeX\) n’est pas chose simple et mon package pas-cours fait appel à Xcas pour ce genre de calculs. Il fallait donc que je trouve un moyen de contourner ceci.
Pour les abonné.e.s de mathweb.fr, vous trouverez le script \(\LaTeX\) qui inclus bien sûr le script Python de la décomposition. Il y a aussi en en-tête la chaîne de compilation à respecter pour faire tourner Pythontex. Ça se passe sur cette page.
Dans le programme de NSI, on abord l’algorithme des k plus proches voisins. Je vais tenter de vous expliquer avec un schéma ce que cela signifie que de trouver de tels voisins.
Prenons l’exemple de points dans un repère orthonormé dans le carré [0;10]x[0;10] : ils sont soit bleus, soit rouges. On dit que “bleu” et “rouge” sont les classes des points.
Si on met au hasard un point dans ce même carré, on peur se demander de quels points est-il le plus proche, ce qui donnera sa classe éventuelle.
J’ai fait un programme en Python qui:
On obtient par exemple :
Pour télécharger le programme Python, rendez-vous sur cette page.
Le but est de créer le GIF suivant:
tikz = open("tikz.tex", "w")
text = ''
x = -5
while x < 5:
y = 1/x
r = (x**2+y**2)**0.5
if r<10 and abs(y)<10:
text = text + '\\begin{tikzpicture}[>=latex]\\labase'
k = -5
while k <= x:
p = 1/k
rr = (k**2+p**2)**0.5
if rr<10 and abs(p)<10:
text = text+'\\draw[red] ('+str(k)+','+str(p)+') circle ('+str(rr)+' cm);\n'
k += 0.1
text = text + '\\end{tikzpicture}\n'
x += 0.1
tikz.write(text)
tikz.close()
Ce script génère un fichier tikz.tex dans lequel les dessins sont faits.
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage[paperwidth=10cm,paperheight=10cm,margin=0cm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\labase}{%
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->] (0,-5) -- (0,5);
\draw plot[domain=-5:-0.1,samples=100] (\x,{1/\x});
\draw plot[domain=0.1:5,samples=100] (\x,{1/\x});
\node[below left] at (0,0) {$O$};
}
\begin{document}
\include{tikz}
\end{document}
En compilant via PdfLaTeX (par exemple), on génère un PDF de 49 pages.
J’ai pour habitude d’utiliser GIMP en ouvrant le PDF, puis en inversant l’ordre des calques, puis en sauvegardant en tant qu’animation dans un fichier .gif. Et voilà !
On peut bien entendu créer un tel GIF directement avec pythontex:
% en utilisant Pythontex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pythontex}
\usepackage[paperwidth=10cm,paperheight=10cm,margin=0cm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\labase}{%
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->] (0,-5) -- (0,5);
\draw plot[domain=-5:-0.1,samples=100] (\x,{1/\x});
\draw plot[domain=0.1:5,samples=100] (\x,{1/\x});
\node[below left] at (0,0) {$O$};
}
\begin{document}
\begin{pycode}
x = -5
while x < 5:
y = 1/x
r = (x**2+y**2)**0.5
if r<10 and abs(y)<10:
print('\\begin{tikzpicture}[>=latex]\\labase')
k = -5
while k <= x:
p = 1/k
rr = (k**2+p**2)**0.5
if rr<10 and abs(p)<10:
print('\\draw[red] ('+str(k)+','+str(p)+') circle ('+str(rr)+' cm);')
k += 0.1
print('\\end{tikzpicture}')
x += 0.1
\end{pycode}
\end{document}
Je ne sais pas vous, mais perso, je trouve un peu chiant de créer un tableau en \(\LaTeX\), surtout s’il est complexe… Je suis toujours obligé de rechercher à droite et à gauche, et même au milieu, où trouver telle ou telle commande.
C’est la raison pour laquelle j’ai envie de réunir dans cet article tout ce qu’il faut savoir sur les tableaux. Projet ambitieux qui, je présume, s’enrichira au fil du temps…
Je ne vais pas tout reprendre, car il existe une page assez complète ici :
https://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Tableaux
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
Sans redéfinir les marges :
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d\\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
En redéfinissant les marges:
\setlength{\tabcolsep}{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d\\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
Il permet de définir des marges verticales par défaut pour éviter que du texte colle aux traits horizontaux.
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{cellspace}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{5pt}
\setlength{\cellspacetoplimit}{5pt}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
Sans utiliser \textit{cellspace} :
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
$\dfrac{p}{q}$ & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
En utilisant \textit{cellspace}:
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
$\dfrac{p}{q}$ & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
a & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
a & b & c & d\\[1cm]
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
Ici, nous utilisons l’alias “\\” suivi de la dimensions (avec unité) que nous souhaitons en dessous du texte et avant le trait horizontal suivant (donc la marge basse de la ligne)
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
Sans redéfinir les marges :
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d\\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
En redéfinissant les marges: \setlength{\arrayrulewidth}{3pt}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d\\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d \vline~ e\\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{arydshln}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c:c|}
\hline
a & b\\
\hdashline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
a & b & c & d\\
\cline{1-1}\cline{4-4}
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
On l’utilise quand on souhaite autre chose qu’un trait entre deux cellules.
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{xspace}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c@{\xspace$\to$\xspace}c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|c|}
\rowcolor{orange!50}
\hline
a & b\\
\hline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{orange!50}}c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\cellcolor{orange!50}a & b\\
\hline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\arrayrulecolor{red}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\hline
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
a & b\\
\arrayrulecolor{red}\hline\arrayrulecolor{black}
c & d \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[table]{xcolor}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|cc!{\color{red}\setlength{\arrayrulewidth}{2pt}\vline}cc|}
\hline
a & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
a & \multicolumn{2}{|c|}{b et c} & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
Il est ici nécessaire d’utiliser le package multirows.
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{multirow}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
a & \multirow{2}{*}{b et f} & c & d\\
\cline{1-1}\cline{3-4}
e & & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{diagbox}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
\diagbox{$a$}{$b$} & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{diagbox}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
\diagbox[width=7mm,height=5mm]{\diagbox[width=7mm,height=5mm,dir=SW]{}{}}{} & b & c & d\\
\hline
e & f & g & h \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
Il y a toutefois un petit inconvénient à cette méthode : il faut jouer manuellement sur les dimensions de la cellule.
Alors maintenant, bien entendu, si vous constatez qu’il manque quelque chose d’important, n’hésitez pas à intervenir en commentaire !
def trianglePascal(n):
T = [[0] * (n+1) for p in range(n+1)]
for n in range(n+1):
if n == 0:
T[n][0] = 1
else:
for k in range(n+1):
if k == 0:
T[n][0] = 1
else:
T[n][k] = T[n-1][k-1] + T[n-1][k]
return T
T = trianglePascal(9)
Ce premier code est intéressant pour voir comment construire une matrice (dont les coefficients sont ceux du triangle de Pascal).
On commence par initialiser notre matrice T en la remplissant de “0”. Puis on la remplit selon la propriété bien connue : \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\).
On va utiliser PythonTeX :
% sous windows
% pdflatex --shell-escape -synctex=1 -interaction=nonstopmode %.tex|python C:\Users\trash\AppData\Local\Programs\MiKTeX\scripts\pythontex\pythontex.py %.tex|pdflatex --shell-escape -synctex=1 -interaction=nonstopmode %.tex
% Sous Linux, remplacer "--shell-espace" par "-write18"
\documentclass[10pt,a0paper,landscape]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{pythontex}
\usepackage{nopageno}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{tikz}
\usepackage[margin=5mm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\dashed}{\tikz[baseline=1mm]\draw[gray!50,dashed](0,0)--(0,0.5);}
\begin{document}
\begin{pycode}
n = 50
def trianglePascal(n):
T = [[0] * (n+1) for p in range(n+1)]
for n in range(n+1):
if n == 0:
T[n][0] = 1
else:
for k in range(n+1):
if k == 0:
T[n][0] = 1
else:
T[n][k] = T[n-1][k-1] + T[n-1][k]
return T
T = trianglePascal(n)
print('\\begin{tabular}{|>{\\columncolor{orange!10}}c|*{',n,'}{c!{\\dashed}}c|}\\rowcolor{orange!10}\\hline\\diagbox[height=8mm]{$n$}{$k$}')
for k in range(n+1):
print('&',k)
for j in range(n+1):
print('\\\\\\hline ',j)
for k in range(n+1):
if k == 0:
print('&1')
else:
if T[j][k] != 0:
print('&',T[j][k])
else:
print('&')
print('\\\\\\hline\\end{tabular}')
\end{pycode}
\end{document}
Une précision ici : j’ai souhaité séparer chaque colonne par des pointillés. Pour cela, j’ai utilisé une macro TiKZ (pour si peu, ça fait un peu mal quand-même…) car le package arydshln (qui permet de le faire simplement) rentre en conflit avec diagbox… Il fallait donc en sacrifier un! (en fait, ils ne rentrent pas vraiment en conflit mais si on utilise des pointillés dans le tableau, une boîte noire apparaît à la place de l’étiquette “n”). On obtient le document suivant :
Pour les curieux, voici un aperçu des premières lignes et colonnes:
Dans cet article, nous allons nous intéresser à la construction du graphe d’une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Mon objectif est de créer un programme Python qui demande à la personne utilisatrice :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
x=Symbol('x')
def definite_function():
fonction = input("Entrez l'expression de la fonction : ")
# convertit la chaîne de caractères en 'fonction'
f = lambdify(x,fonction,'math') # on utilise le module 'math' ici plutôt que 'numpy' car plus pratique
fonction_latex = input('Syntaxe LaTeX : ')
return f,fonction_latex
Ici, on demande de saisir d’une part la fonction (avec une syntaxe “classique”), chaîne de caractères que l’on s’empresse tout de suite de transformer en fonction avec la fonction lambdify du module simpy. Puis, on demande la syntaxe \(\LaTeX\) pour que l’affichage du titre soit plus joli. La fonction retourne un couple constitué de la fonction et de la syntaxe “latexienne” de la fonction.
def window():
xmin = float(input('xmin = '))
xmax = float(input('xmax = '))
ymin = float(input('ymin = '))
ymax = float(input('ymax = '))
return xmin,xmax,ymin,ymax
def definite_first_term():
u = float(input("Entrez le premier terme : "))
return u
def definite_nb_terms():
n = int(input('Nombre de termes à construire : '))
return n
def definite_name():
name = input("Entrez le nom de l'image à sauvegarder (appuyez sur [Entrée] si vous ne voulez pas sauvegarder l'image) : ")
return name
Rien de bien compliqué pour ces quelques fonctions qui permettent de saisir le reste des paramètres.
Nous allons la nommer :
def construct_graph(xmin,xmax,ymin,ymax,f,fonction,u,n,name):
et pour commencer, nous allons nommer la figure:
fig = plt.gcf()
dans l’objectif de la sauvegarder (éventuellement) plus tard.
# tracé du repère et de la grille
ax = axes([xmin,ymin,xmax,ymax])
ax.set_xlim(xmin,xmax)
ax.set_ylim(ymin,ymax)
ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1.0))
ax.xaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(0.1))
ax.yaxis.set_major_locator(MultipleLocator(1.0))
ax.yaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(0.1))
ax.grid(which='minor', axis='x', linewidth=0.25, linestyle='--', color='0.75')
ax.grid(which='minor', axis='y', linewidth=0.25, linestyle='--', color='0.75')
# tracé des courbes
x = np.linspace(xmin, xmax, 201)
y = [f(x) for x in [xmin+i*(xmax-xmin)/200 for i in range(201)]]
plt.plot(x,y,color='green')
plt.plot(x,x,color='red')
On trace ici la courbe représentative de la fonction f ainsi que la droite d’équation \(y=x\).
for i in range(0,n):
x = [u,u]
y = [u,f(u)]
plt.plot(x,y,linestyle='--',color='blue',linewidth=0.5)
x = [u,f(u)]
y = [f(u),f(u)]
plt.plot(x,y,linestyle='--',color='blue',linewidth=0.5)
if i != n-1:
x = [f(u),f(u)]
y = [f(u),0]
plt.plot(x,y,linestyle='--',color='orange',linewidth=0.5)
if i%2 == 0:
yunder=-0.05
else:
yunder = -0.1
plt.text(u-0.02,yunder,np.around(u,2))
u = f(u)
On fait une boucle dont le nombre d’itérations est égal au nombre de points que l’on veut. Dans un premier temps, on trace en pointillés la ligne verticale qui va de (u,0) à (u,f(u)), dans un deuxième temps, la ligne horizontale qui va de (u,f(u)) à (f(u),f(u)) puis la ligne verticale qui va de (f(u),f(u)) à (f(u),0) pour avoir le terme suivant sur l’axe des abscisses.
#params = {'mathtext.default': 'regular' }
#plt.rcParams.update(params)
plt.rc('text', usetex=True)
plt.rc('font', family='serif')
title = "Construction des "+str(n)+" premiers termes de la suite définie par\n$u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)="+fonction+"$"
plt.title(title)
if name != '':
fig.savefig(name+'.png',dpi=100,bbox_inches='tight')
plt.show()
On insère maintenant le titre; les deux premières lignes commentées affichent un titre avec une police de caractères par défaut sous Python (ce qui ne me convient pas, mais qui peut plaire à certaines personnes). Les deux lignes suivantes spécifient que l’on souhaite un affichage \(\LaTeX\).
if __name__ == '__main__':
f,fonction = definite_function()
u = definite_first_term()
xmin,xmax,ymin,ymax = window()
n = definite_nb_terms()
name = definite_name()
construct_graph(xmin,xmax,ymin,ymax,f,fonction,u,n,name)
En exécutant ce programme avec les paramètres suivants:
on obtient l’image suivante:
Retrouvez le programme complet sur cette page.