Un résultat sur les racines d’un polynôme à coefficients entiers

On considère un polynôme à coefficients entiers : $$P(X)=\sum_{k=0}^n c_kX^k\quad,\quad \forall\; k\in[0;n]\cap\mathbb{N},\ c_k\in\mathbb{Z}.$$ L’objectif ici est de démontrer que s’il admet une racine rationnelle irréductible $\frac{a}{b}$ alors $a$ divise $c_0$ et $b$ divise $c_ n$.

Démonstration

On part de l’hypothèse selon laquelle $P\left(\frac{a}{b}\right)=0$ puisque $\frac{a}{b}$ est une racine du polynôme $P$ : $$\begin{align} & P\left(\frac{a}{b}\right)=0 \\ \iff & \sum_{k=0}^n c_k\left(\frac{a}{b}\right)^k\\ \iff & c_0+\frac{c_1a}{b}+\frac{c_2a^2}{b^2}+\cdots+\frac{c_na^n}{b^n}=0\\ \iff & c_0b^n+c_1ab^{n-1}+c_2a^2b^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-1}b+c_na^n=0.\end{align}$$ De cette dernière égalité, on peut en déduire deux résultats :

• Dans un premier temps, $$\begin{align} c_0b^n & =-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b-c_na^n\\ & = -a\big(c_1b^{n-1}+c_2ab^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}b+c_na^{n-1}\big) \end{align}$$ Or, $\text{pgcd}(a,b)=1$ donc $\text{pgcd}(a,b^n)=1$ et, d’après le théorème (arithmétique) de Gauss, $a$ divise $c_0$ ;
• D’autre part, $$\begin{align} c_n a^n & =-c_0b^n-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b\\ & = -b\big(c_0b^{n-1}+c_1ab^{n-2}+c_2a^2b^{n-3}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}\big) \end{align}$$ Or, $\text{pgcd}(a,b)=1$ donc $\text{pgcd}(a^n,b)=1$ et, d’après le théorème (arithmétique) de Gauss, $b$ divise $c_n$.

Application

Ce résultat peut nous servir par exemple à démontrer que $\sin\frac{\pi}{18}$ est irrationnel. En effet, on sait que : $$\sin\left(3\times\frac{\pi}{18}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\;;$$ de plus, $$\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x$$ donc, de ces deux égalités, on déduit : $$3\sin\frac{\pi}{18}-4\sin^3 \frac{\pi}{18}=\frac{1}{2}$$ soit, en posant $S = \sin\frac{\pi}{18}$, $$3S-4S^3=\frac{1}{2}$$ ou encore : $$8S^3-6S+1=0.$$

En posant $X = 2S$, l’égalité devient : $$X^3-3X+1=0.$$ Si $\sin\frac{\pi}{18}$ est rationnel alors il en est de même pour son double $X$.

Or, d’après le résultat démontré précédemment, si l’équation $X^3-3X+1=0$ admet une solution rationnelle $\frac{a}{b}$ alors $a$ divise 1 et $b$ divise 1, ce qui ne laisse comme choix pour solution que $X=1$ ou $X=-1$.

Mais ni 1 ni $-1$ n’est solution de l’équation, ce qui signifie que l’équation $X^3-3X+1=0$ n’admet aucune solution rationnelle et donc que la solution connue, à savoir $X$ est irrationnelle et donc que $S$ est irrationnelle.