Si vous avez la curiosité d’aller dans votre cuisine et de prendre une casserole pour en mesurer la hauteur et le rayon de la base, quelle que soit la casserole que vous prendrez, vous verrez que vous obtiendrez la même mesure… Coïncidence ?

Une histoire d’économie

Tout part du fait que l’on souhaite minimiser la surface de métal utilisé pour fabriquer une casserole, en imposant le volume.

Notons alors :

• \(v\) le volume que l’on souhaite pour une casserole,
• \(h\) sa hauteur,
• \(r\) son rayon.

Grosso-merdo, la casserole a une forme cylindrique. Ainsi,$$v=\pi r^2 h.$$ On en déduit donc que:$$h=\frac{v}{\pi r^2}.$$

Notons maintenant \(S(r)\) la surface nécessaire à la fabrication de cette casserole.

Pour la calculer, on calcule l’aire du rectangle latéral (de dimensions : périmètre de la base par hauteur, soit \(2\pi r\) et \(h\), et on lui ajoute l’aire du disque de base. On obtient alors:$$\begin{align}S(r) & = 2\pi rh + \pi r^2\\ & = 2\pi r\times\frac{v}{\pi r^2} + \pi r^2\\ & = \frac{2v}{r} + \pi r^2.\end{align}$$

Afin de minimiser la surface, il faut étudier cette fonction et voir pour quelle valeur de \(r\) elle atteint son minimum. La dérivée de \(S(r)\) est:$$\begin{align}S'(r) & = -\frac{2v}{r^2} + 2\pi r\\ & = 2\frac{\pi r^3-v}{r^2}.\end{align}$$Le dénominateur étant strictement positif, la dérivée est du signe de \(\pi r^3-v\). Résolvons donc l’inéquation:$$\begin{align}\pi r^3-v \geqslant 0 & \iff \pi r^3 \geqslant v\\ & \iff r^3 \geqslant \frac{v}{\pi} \\ & \iff r^3 \geqslant \frac{\pi r^2 h}{\pi}\\& \iff r^3 \geqslant r^2 h\\ & \iff r \geqslant h\end{align}$$en divisant les membres de la dernière équation par \(r^2\).

Ainsi, le minimum de la surface est atteint… pour \(r = h\) ! Et c’est pour cette raison que nos casseroles ont une hauteur égale à leur rayon.