La suite de Fibonacci est la suite définie par ses deux premiers termes \(F_0=F_1=1\) et par la relation de récurrence suivante:$$\forall n\in\mathbb{N},\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.$$ Nous allons nous pencher sur cette suite afin de déterminer une expression de son terme général en fonction de son rang.
La première chose que j’ai envie d’écrire, c’est:$$\forall n\in\mathbb{N},\ F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0.$$Ensuite, je me dis que ça serait cool si cette suite était géométrique… Bon, elle ne l’est pas, mais j’ai envie de voir un truc… Supposons alors que \(F_n=q^n\), où \(q \neq 0\). Alors, la relation précédente devient:$$q^{n+2}-q^{n+1}-q^n=0$$ soit:$$q^n(q^2-q-1)=0.$$Comme \(q\) n’est pas nul, cela signifie que \(q^2-q-1=0\), c’est-à-dire, après calcul du discriminant, je trouve deux valeurs possibles pour \(q\):$$q_1=\frac{1-\sqrt5}{2}\text{ ou }q_2=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$Mais bon… je ne suis pas si stupide que ça: je vois bien que ni \((q_1^n)\) ni \((q_2^2)\) ne convient car les deuxièmes termes de ces deux suites ne coïncident pas avec le deuxième terme de la suite de Fibonacci.
C’est là que j’ai une idée : pourquoi ne pas considérer une combinaison linéaire de ces deux suites ? Allez ! Je me lance ! Je pose pour tout entier naturel n:$$u_n=\alpha q_1^n + \beta q_2^n.$$Il est assez facile de constater que:$$\begin{align}u_{n+2}-u_{n+1}-u_n & = \alpha q_1^n(q_1^2-q_1-1) + \beta q_2^n(q_2^2-q_2-1)\\& = 0\end{align}$$car \( q_1^2-q_1-1 = 0\) et \( q_2^2-q_2-1 = 0\). Ainsi, la suite de Fibonacci fait partie des suites \((u_n)\). Il ne reste plus qu’à trouver les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\). Pour cela, on va considérer que:$$\begin{cases}F_0 = \alpha + \beta & = 1\\F_1=\alpha q_1 + \beta q_2 & = 1\end{cases}$$On arrive alors à:$$\alpha=\frac{5-\sqrt5}{10}\text{ et }\beta=\frac{5+\sqrt5}{10}.$$Ainsi, la suite de Fibonacci peut s’exprimer de la manière suivante:$$F_n=\left( \frac{5-\sqrt5}{10} \right)\left( \frac{1-\sqrt5}{2} \right)^n + \left( \frac{5+\sqrt5}{10} \right)\left( \frac{1+\sqrt5}{2} \right)^n.$$
Le nombre \(\displaystyle\frac{1+\sqrt5}{2}\) qui apparaît dans la formule est appelé le nombre d’or; on le note souvent \(\varphi\) ou \(\phi\) (« phi »). Ce qu’il y a d’intéressant, c’est que si on calcule les quotients successifs \(\displaystyle\frac{F_{n+1}}{F_n}\), on s’aperçoit qu’ils se rapprochent de plus en plus du nombre d’or (voir cet article).
La suite ne commence pas à 0 ?
F0 = 0
F1 = 1 non ?
Si on remplace n par 0 dans la formule explicite de \(F_n\), on trouve \(F_0=1\).
Si vous souhaitez que le premier terme soit 0, la formule sera changée. Par convention, on choisit celle proposée dans l’article pour simplifier la formule du terme général.
Historiquement, le premier terme est bien « 1 » car Fibonacci observait les couples de lapins et 0 lapin + 1 lapin n’a pas de sens 🙂
Pourtant sur le site de l’OEIS (qui fait référence), la suite de Fibonacci (A000045) est définie par les premiers termes F_0=0 et F_1=1.
Mais je comprends tout à fait votre commentaire historique et ne m’explique pas cette différence de terme initial.
Cordialement.
Le fait de commencer à 0 ne change en rien le fait qu’un terme de la suite vaut la somme des deux précédents. En effet 0 + 1 = 1 !!! On commence ainsi avec le premier « nombre » naturel. Maintenant, de fait, la plupart des situations qui veulent illustrer cette suite, ne démarre généralement pas à 0. Il aurait donc été rajouté par la suite, voyant que ça ne changeait rien à celle-ci.
Il est marrant de voir qu’en reculant dans la suite, on obtient une alternance entre les nombres positifs et négatifs :
13, -8, 5, -3 , 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Formule qui peut être simplifiée en :$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} – \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right].$$