Un problème d’olympiade

Un problème d’olympiade

Je continue ma série des problèmes qui sont tombés dans des concours mathématiques avec celui-ci, proposé aux International Mathematical Olympiad (IMO).

Trouver toutes les fonctions f de \(\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\) telles que:$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$

Dans un premier temps, on peut prendre a = 0, ce qui donne:$$f(0)+2f(b)=f(f(b)),$$que l’on peut écrire (pour que cela nous soit plus familier) de la manière suivante:$$f(0)+2f(x)=f(f(x)) .$$Ensuite, on peut prendre a = 1, ce qui donne:$$f(2)+2f(b)=f(f(1+b)).$$En prenant la première égalité pour x = 1 + b, cela donne:$$f(2)+2f(b)=f(0)+2f(1+b),$$que l’on peut aussi écrire, en prenant b = n:$$\frac{f(2)-f(0)}{2}=f(1+n)-f(n).$$Comme f est une fonction à variable entière, on peut aussi la qualifier de suite numérique (u) et dans ce cas, on a:$$u_{n+1}-u_n= \frac{f(2)-f(0)}{2} .$$

Mais dites-donc ! Ne serait-ce pas là une suite arithmétique ? Mais si puisque \( \frac{f(2)-f(0)}{2} \) est une constante ! On peut alors écrire:$$u_n=u_0+nr$$où r est la raison de la suite. Reprenons alors la définition de la fonction f appliquée à la suite:$$\begin{align} & f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) \\ \iff & u_0+(2a)r + 2(u_0+br) = u_0 + (u_0 + (a+b)r )r\\ \iff & 3u_0 + 2(a+b)r = (a+b)r^2 + (r+1)u_0\end{align}$$Comme cette dernière égalité est vraie pour tous entiers a et b, cela signifie que les coefficients de (a+b) sont égaux et que les constantes sont égales:$$\begin{cases}2r & = r^2\\3u_0 & =(r+1)u_0\end{cases}$$Il y a alors deux valeurs possibles de r:

  • r = 0, auquel cas \(u_0=0\)
  • r = 2, auquel cas la seconde égalité est vérifiée pour toute valeur de \(u_0\)

Ainsi, les fonctions (suites numériques) solutions à notre problème sont la fonction nulle f(x) = 0 et les fonctions de la forme f(x) = 2x + n, où n est un entier quelconque.

Evariste_Galois1973

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