Nous allons parler dans cet article, inspiré de la vidéo suivante, des constantes de Kaprekar et aller un peu plus loin.
Le problème mathématique sur un nombre à 3 chiffres pour obtenir une des constantes de Kaprekar 495
Exposé théorique
Étant donné un nombre entier \(n\) à 3 chiffres non tous identiques, noté \(\overline{x_1x_2x_3}\), on considère les fonctions:$$b(n)=\overline{x_ix_jx_k},~\text{avec }x_i \geqslant x_j \geqslant x_k$$et:$$s(n)=\overline{x_mx_nx_p},~\text{avec }x_m \leqslant x_n \leqslant x_p.$$On note ensuite:$$d(n)=b(n)-s(n).$$Alors, il existe un entier r>0 tel que pour tout entier \(q \geqslant r\), \(d^q(n)=495\), en prenant pour convention que:$$d^q(n) = \underbrace{(d \circ d \circ \cdots \circ d)}_{q\text{ fois}}(n).$$
Un exemple
Prenons:$$n=847$$. Alors,$$b(n)=874$$et$$s(n)=478$$. Ici, on forme le plus grand entier possible avec les chiffres de n (c’est b(n) – b pour « biggest ») et le plus petit nombre possible avec ces mêmes chiffres (c’est s(n) – s pour « smallest »).
Ensuite, on calcule la différence:$$d(n)=874-478=396.$$On applique alors à 396 la fonction d à nouveau. On trouve:$$d(396)=963-369=594,$$ puis on applique à nouveau d à 594:$$d(594)=954-459=495.$$Si on applique à nouveau d à 495, on trouve:$$d(495)=954-459=495.$$
Ainsi, pour tout entier \(q \geqslant 3\),$$d^q(847)=495.$$
Le problème mathématique sur un nombre à 4 chiffres pour obtenir une des constantes de Kaprekar 6174
Si on fait la même chose sur un nombre à quatre chiffres, on constate qu’il existe un entier r à partir duquel \(d^q(n)=6174\).
Par exemple, si on prend:$$n=4521$$on a:$$d(n)=5421-1245=4176$$et$$d^2(n)=7641-1467=6174.$$On peut voir aussi que \(d(6174)=6174\) donc inutile d’aller plus loin.
Un programme Python
Comme je suis une grosse feignasse, je n’aime pas faire de calculs répétitifs donc je préfère écrire un programme qui fait ça pour moi…
def d(n):
L = list( str(n) )
L.sort()
smallest = ''.join(L)
L.reverse()
biggest = ''.join( L )
return int(smallest) , int(biggest) , int(biggest)-int(smallest)
n = int( input("Entrez un nombre entier : ") )
ant = 0
while d(ant) != d(n):
print('{} --> {} , {} --> différence = {}'.format(n , d(n)[0] , d(n)[1] , d(n)[2]))
ant = n
n = d(ant)[2]
Ce n’est sans doute pas un programme optimal, mais… après tout, je suis en vacances ! Et il fait le job…
L’idée est de voir les différents résultats de \(d^q(n)\), et ça fonctionne bien. Bien sûr, en l’état, si vous entrez un entier à plus de 4 chiffres, ça ne fa pas fonctionner…
Le problème mathématique sur un nombre à 5 chiffres et plus : constantes de Kaprekar ?
Constat mathématique
Si on prend un nombre à 5 chiffres, on s’aperçoit que les choses changent. À l’aide du programme précédent, on le stoppant manuellement, on s’aperçoit qu’il y a un cycle.
Par exemple, si on prend:$$n=12345$$cela donne:
12345 --> 12345 , 54321 --> différence = 41976 41976 --> 14679 , 97641 --> différence = 82962 <==== 82962 --> 22689 , 98622 --> différence = 75933 75933 --> 33579 , 97533 --> différence = 63954 63954 --> 34569 , 96543 --> différence = 61974 61974 --> 14679 , 97641 --> différence = 82962 <==== cycle
En prenant:$$n=28018$$on a:
28018 --> 1288 , 88210 --> différence = 86922 86922 --> 22689 , 98622 --> différence = 75933 <=== 75933 --> 33579 , 97533 --> différence = 63954 63954 --> 34569 , 96543 --> différence = 61974 61974 --> 14679 , 97641 --> différence = 82962 82962 --> 22689 , 98622 --> différence = 75933 <=== cycle
En prenant:$$n=98174$$on a:
98174 --> 14789 , 98741 --> différence = 83952 <=== 83952 --> 23589 , 98532 --> différence = 74943 74943 --> 34479 , 97443 --> différence = 62964 62964 --> 24669 , 96642 --> différence = 71973 71973 --> 13779 , 97731 --> différence = 83952 <=== cycle
Bon, on ne va pas tous les faire mais bon… allez ! Un dernier et j’arrête: pour$$n=10101$$on a:
10101 --> 111 , 11100 --> différence = 10989 10989 --> 1899 , 99810 --> différence = 97911 97911 --> 11799 , 99711 --> différence = 87912 87912 --> 12789 , 98721 --> différence = 85932 85932 --> 23589 , 98532 --> différence = 74943 <=== 74943 --> 34479 , 97443 --> différence = 62964 62964 --> 24669 , 96642 --> différence = 71973 71973 --> 13779 , 97731 --> différence = 83952 83952 --> 23589 , 98532 --> différence = 74943 <=== cycle
Modification du programme Python
Plutôt que de d’interrompre manuellement le programme, autant le modifier pour qu’il s’arrête de lui-même quand une boucle est détectée:
def d(n):
L = list( str(n) )
L.sort()
smallest = ''.join(L)
L.reverse()
biggest = ''.join( L )
return int(smallest) , int(biggest) , int(biggest)-int(smallest)
n = int( input("Entrez un nombre entier : ") )
ant = 0
N = [ n ]
add = False
while not add:
print('{} --> {} , {} --> différence = {}'.format(n , d(n)[0] , d(n)[1] , d(n)[2]))
n = d(n)[2]
if n not in N:
N += [ n ]
else:
add = True
Ainsi, en entrant:$$n=78545$$on a:
78545 --> 45578 , 87554 --> différence = 41976 41976 --> 14679 , 97641 --> différence = 82962 82962 --> 22689 , 98622 --> différence = 75933 75933 --> 33579 , 97533 --> différence = 63954 63954 --> 34569 , 96543 --> différence = 61974 61974 --> 14679 , 97641 --> différence = 82962
Pour \(n=55155\), on a:
55155 --> 15555 , 55551 --> différence = 39996 39996 --> 36999 , 99963 --> différence = 62964 62964 --> 24669 , 96642 --> différence = 71973 71973 --> 13779 , 97731 --> différence = 83952 83952 --> 23589 , 98532 --> différence = 74943 74943 --> 34479 , 97443 --> différence = 62964
(ah zut ! j’avais promis d’arrêter…)
Ce qu’il y a de bien avec ce programme est que l’on peut entrer un nombre entier quelconque, ça fonctionne!
Pour en savoir un peu plus, vous pouvez regarder par exemple la page https://www.dcode.fr/algorithme-kaprekar