Calcul d’une somme infinie: Cliff Pickover a publié un tweet le 13 juillet 2022 qui m’inspira:

Ce tweet stipule que:$$\sum_{n\geq0}\frac{n^3}{2^n}=26.$$

J’avais envie de vous exposer la preuve donnée par l’un de ses followers, mais de façon plus pédagogique et plus présentable…

Calcul d’une somme infinie: démonstration mathématique

Posons:$$f(x)=\sum_{n\geq0}x^n.$$

C’est une somme géométrique qui converge lorsque 0 < x < 1. Dans ce cas:$$f(x)=\frac{1}{1-x}\quad,\quad 0<x<1.$$On a alors les dérivées successives suivantes:$$\begin{array}{l}f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\\f »(x)=\frac{2}{(1-x)^3}\\f^{(3)}(x)=\frac{6}{(1-x)^4}\end{array}$$

Si on part maintenant du développement en série de f(x), on a:$$f'(x)=\sum_{n\geq0}nx^{n-1}.$$

En multipliant par \(x\) à droite et à gauche, on a alors:$$xf'(x)=\sum_{n\geq0}nx^n.$$

En dérivant à droite et à gauche, on obtient:$$f'(x)+xf »(x)=\sum_{n\geq0}n^2x^{n-1}.$$

En multipliant par \(x\) à droite et à gauche, on a:$$xf'(x)+x^2f »(x)=\sum_{n\geq0}n^2x^n.$$

Le but, en multipliant par \(x\), est d’obtenir une somme infinie où est présent \(x^n\) et non \(x^{n-1}\).

En dérivant les deux membres de cette dernière égalité, on arrive à:$$f'(x)+xf »(x)+2xf »(x)+x^2f^{(3)}(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^{n-1}.$$

En multipliant par \(x\) à droite et à gauche, on a:$$xf'(x)+3x^2f »(x)+x^3f^{(3)}(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^n.$$

On remplace maintenant \(f'(x)\), \(f »(x)\) et \(f^{(3)}(x)\) par leur expression, ce qui donne:$$\frac{x}{(1-x)^2}+\frac{6x^2}{(1-x)^3}+\frac{6x^3}{(1-x)^4}=\sum_{n\geq0}n^3x^n.$$

En prenant \(x=\frac{1}{2}\), on obtient:$$2+12+12=26=\sum_{n\geq0}n^3x^n.$$

Calcul d’une somme infinie: commande Python

On peut vérifier aisément cette valeur à l’aide de Python:

sum( (n**3/2**n) for n in range(68) )

Pourquoi s’arrêter à 68 ? Parce que si l’on s’arrête à 67, cela affiche:

25.999999999999996

et qu’il est inutile d’aller au-delà de 68.

Aller plus loin…

On « reconnait » la séquence A000629 (« Number of necklaces of partitions of k+1 labeled beads »). Pour avoir plus d’informations sur les colliers en combinatoire, regardez cette page Wikipedia.

Par exemple, si l’on dispose du collier formé par les 3 éléments a, b et c, on peut former:

• { {abc} } ,
• { {ab} , {c} } ,
• { {ac} , {b} } ,
• { {bc} , {a} } ,
• { {a} , {b} , {c} } ,
• { {a} , {c} , {b} }.

On peut donc, en théorie, donner une expression de la valeur de la somme \(\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{n^k}{2^k}\).