Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché est l’un des objectifs principaux de l’exercice que nous allons voir dans cet article.
Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: l’énoncé
Nous disposons d’une citerne cylindrique couchée dans laquelle est mis un certain volume d’eau.
Ce que nous savons:
- le diamètre de la base de la citerne est égal à 7 unités;
- sa hauteur est égale à 30 unités;
- la hauteur de l’eau s’élève à h = 3 unités.
On relève la citerne de 90°.
Question: quelle est la hauteur h’ de l’eau dans la citerne une fois relevée ?
Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: résolution de l’exercice
Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: volume d’eau
Pour pouvoir répondre à cette question, il nous faut calculer le volume d’eau, et donc le volume d’un tronc de cylindre couché.
Si on regarde la citerne couchée, la vue de face donne ceci:
Cette question revient donc à trouver avant tout l’aire de la surface « coincée » entre le cercle et le segment (représentant la surface de l’eau). Pour se faire, considérons le secteur angulaire:
Il nous faut avant tout trouver son aire. Pour cela, il nous faut son angle au centre.
Pour obtenir cet angle, rien de tel qu’un peu de trigonométrie niveau collège:
$$\cos\alpha = \frac{4}{7} \Rightarrow \alpha \approx 55^\circ. $$
Ainsi, l’angle au centre que nous cherchions mesure approximativement 110°. Voilà une bonne chose de faite!
Maintenant, on applique la proportionnalité pour déterminer l’aire du secteur angulaire d’angle au centre 110°:
| Aire du secteur angulaire | Angle du secteur angulaire |
|---|---|
| \( \pi\times7^2 \) | 360° |
| \( x \) | 110° |
Bim, bam, boum, un coup de quatrième proportionnelle (toujours niveau collège) et on trouve: $$x=\frac{110\times49\pi}{360}\approx 47.$$
Maintenant, nous pouvons calculer le volume d’eau en multipliant cette aire par la hauteur du cylindre:$$\mathcal{V}_{\text{eau}}\approx47\times30\approx1411.$$
Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: déterminer la hauteur de l’eau dans la citerne relevée
Une fois que la citerne est relevée, l’eau épouse la citerne (Mazal Tov!) si bien qu’elle a désormais la forme d’un cylindre.
Or, le volume d’un cylindre est: $$\mathcal{V}_{\text{cylindre}}=\pi \times r^2 \times h’.$$Ainsi,$$1411 = 49\pi \times h$$d’où:$$h’=\frac{1411}{49\pi}\approx 9,2.$$
Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: généralisation
Établir une formule générale
Si l’on prend du recul sur nos calculs, on peut s’apercevoir que nous avions multiplié par \(49\pi\) pour trouver le volume de l’eau dans la citerne couchée, puis que nous avons divisé par ce même nombre après… On peut alors écrire que:$$h’=\frac{110 \times 30}{360}$$.
Le 110 a été trouvé en prenant l’arc cosinus de \(\frac{4}{7}=\frac{R-h}{R}\). On peut alors établir la formule suivante:$$h’=\frac{1}{180}\times\arccos\left( \frac{R-h}{R} \right)\times H$$où:
- \(H\) est la hauteur du cylindre,
- \(R\) est le rayon de la base du cylindre,
- \(h\) est la hauteur de l’eau dans le cylindre couché
- \(h’\) est la hauteur de l’eau dans le cylindre mis verticalement.
Vérification de la formule
Prenons le cas où \( h = R \), c’est-à-dire le cas où l’eau arrive pile au milieu lorsque la citerne est couchée.
La formule donne:$$h’=\frac{1}{180}\times\arccos(0)\times H=\frac{H}{2}.$$
C’est cohérent! En effet, si l’eau arrive au milieu de la citerne lorsque cette dernière est couchée, c’est que le volume d’eau est égal à la moitié de celui de la citerne. Donc, quand on la fait pivoter de 90°, l’eau doit nécessairement arriver à la moitié de la hauteur du cylindre.
