Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché est l’un des objectifs principaux de l’exercice que nous allons voir dans cet article.

Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: l’énoncé

Nous disposons d’une citerne cylindrique couchée dans laquelle est mis un certain volume d’eau.

Ce que nous savons:

• le rayon de la base de la citerne est égal à 7 unités;
• sa hauteur est égale à 30 unités;
• la hauteur de l’eau s’élève à h = 3 unités.

On relève la citerne de 90°.

Question: quelle est la hauteur h’ de l’eau dans la citerne une fois relevée ?

Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: résolution de l’exercice

Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: volume d’eau

Pour pouvoir répondre à cette question, il nous faut calculer le volume d’eau, et donc le volume d’un tronc de cylindre couché.

Si on regarde la citerne couchée, la vue de face donne ceci:

Cette question revient donc à trouver avant tout l’aire de la surface « coincée » entre le cercle et le segment (représentant la surface de l’eau). Pour se faire, considérons le secteur angulaire:

Aire du secteur angulaire

Il nous faut avant tout trouver son aire. Pour cela, il nous faut son angle au centre.

Pour obtenir cet angle, rien de tel qu’un peu de trigonométrie niveau collège:

$$\cos\alpha = \frac{4}{7} \Rightarrow \alpha \approx 55^\circ. $$

Ainsi, l’angle au centre que nous cherchions mesure approximativement 110°. Voilà une bonne chose de faite!

Maintenant, on applique la proportionnalité pour déterminer l’aire du secteur angulaire d’angle au centre 110°:

Aire du secteur angulaire	Angle du secteur angulaire
\( \pi\times7^2 \)	360°
\( x \)	110°

Bim, bam, boum, un coup de quatrième proportionnelle (toujours niveau collège) et on trouve: $$x=\frac{110\times49\pi}{360}\approx 47.$$

Aire du triangle isocèle

À cette aire, il nous faut enlever l’aire du triangle isocèle de hauteur 4, celui « au-dessus » de l’eau.

À l’aide du théorème de Pythagore, on peut dire que le segment bleu mesure \(2\times\sqrt{7^2-4^2}=2\sqrt{33}.\)

Donc l’aire du triangle isocèle est: \( \frac{2\sqrt{33} \times 4}{2} = 4\sqrt{33} \approx 23. \)

Aire de la section d’eau

L’aire du secteur coincé entre le segment bleu et le cercle est donc environ \(47-23=24\).

Volume d’eau

Maintenant, nous pouvons calculer le volume d’eau en multipliant cette aire par la hauteur du cylindre:$$\mathcal{V}_{\text{eau}}\approx24\times30\approx 720.$$

Calculer le volume d’un tronc de cylindre couché: déterminer la hauteur de l’eau dans la citerne relevée

Une fois que la citerne est relevée, l’eau épouse la citerne (Mazal Tov!) si bien qu’elle a désormais la forme d’un cylindre.

Or, le volume d’un cylindre est: $$\mathcal{V}_{\text{cylindre}}=\pi \times r^2 \times h’.$$Ainsi,$$720 = 49\pi \times h’$$d’où:$$h’=\frac{720}{49\pi}\approx 46,2.$$