Vous connaissez sûrement les suites arithmétiques. Mais savez-vous qu’elles font partie d’une plus grande famille ?
Suites arithmétiques de degré d: introduction
La suite des carrés parfaits
Nous allons prendre l’exemple de la suite des carrés parfaits:un=n2.
Valeurs de n | Valeurs de n² |
---|---|
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 4 |
3 | 9 |
4 | 16 |
5 | 25 |
6 | 36 |
7 | 49 |
8 | 64 |
9 | 81 |
Maintenant, regardons la suite définie pour tout entier naturel n par:vn=un+1−un.
Valeurs de n | Valeurs de n² | Valeurs de vn |
---|---|---|
0 | 0 | – |
1 | 1 | v_0 = 1 – 0 = 1 |
2 | 4 | v_1=4 – 1 = 3 |
3 | 9 | v_2=9 – 4 = 5 |
4 | 16 | v_3=16 – 9 = 7 |
5 | 25 | v_4=25 – 16 = 9 |
6 | 36 | v_5=36 – 25 = 11 |
7 | 49 | v_6=49 – 36 = 13 |
8 | 64 | v_7=64 – 49 = 15 |
9 | 81 | v_8=81 – 64 = 17 |
La suite (v_n) est arithmétique de raison r = 2.
On dira alors que (u_n) est une suite arithmétique de degré 2.
La suite des nombres pentagonaux
On peut représenter cette suite (u_n^{(0)}) ainsi:
On peut « décomposer » cette suite ainsi:
Valeurs de u_n^{(0)} | u_n^{(1)} = u_n^{(0)} – u_{n-1}^{(0)} | u_n^{(2)} = u_n^{(1)}-u_{n-1}^{(1)} |
---|---|---|
u_0=1 | ||
u_1=5 | 4 | |
u_2=12 | 7 | 3 |
u_3=22 | 10 | 3 |
u_4=35 | 13 | 3 |
Cette suite est aussi une suite arithmétique de degré 2. Dans ce tableau , j’ai volontairement « poussé » jusqu’à obtenir une suite constante pour mettre en relief la raison pour laquelle le degré est 2: on a « décomposé » la suite initiale à l’aide de 2 suites, dont la dernière est constante.
Suites arithmétiques de degré d: généralités
Définition d’une suite arithmétique de degré d
Une suite numérique (u_n^{(0)}) est arithmétique de degré d s’il existe un ensemble de suites \{ (u_n^{(1)}) \}, \{ (u_n^{(2)}) \}, …, \{ (u_n^{(d)}) \} telles que:\forall p \in [0 ; d-1]\cap\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n^{(p)} = u_{n-1}^{(p)}+u_{n-1}^{(p+1)}\,, où (u_n^{(d)}) est une suite constante.
La raison d’une telle suite est la valeur de u_0^{(d)} .
Un autre exemple
Si on découpe un plan à l’aide de n droites, le nombre maximum de régions du plan est une suite arithmétique de degré 2 et de raison 1.
Terme général d’une suite arithmétique de degré d
Si (u_n^{(d)}) est une suite arithmétique de degré d et de raison r, alors:\forall n\in\mathbb{N},\ u_n^{(0)} = \sum_{m=0}^{d-1}\left(u_0^{(m)}P_m(n)\right)+rP_d(n)\,,où la famille de polynômes P_k(n) est définie par:\forall n\in\mathbb{N},\ \begin{cases} P_0(n)=1\\\forall k\in\mathbb{N},\ P_{k+1}(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^nP_k(j) \end{cases}
La démonstration est plutôt longue mais elle est disponible dans mon livre « Ainsi de suite« , disponible gratuitement en téléchargement au format PDF. Cela se démontre par récurrence.
Conséquences
Ce dernier résultat montre que le terme général d’une suite arithmétique de degré d s’exprime comme un polynôme de degré d:\forall\ n\in\mathbb{N},\ u_n^{(d)} = \alpha_dn^d + \cdots + \alpha_1n + \alpha_0. Pour déterminer la valeur des coefficients \(\alpha
_k\), il suffit de résoudre le système linéaire de Vandermonde suivant :\begin{cases}u_1^{(0)} & = & \alpha_0 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_d\\u_2^{(0)} & = & \alpha_0 + 2\alpha_1 + \cdots + 2^d\alpha_d\\\vdots & & \\u_{d+1}^{(0)} & = & \alpha_0 + (d+1)\alpha_1 + \cdots + (d+1)^d\alpha_d\end{cases}
Une application aux suites arithmétiques de degré d: les nombres polygonaux
Nous en avons brièvement parlé précédemment lorsque nous avons regardé la suite pentagonale.



On arrive à démontrer à l’aide du résultat précédent que:\forall\; p\geqslant 3,\ u_n^{(p)} = \frac{n\left(4-p+(p-2)n\right)}{2}.
Un peu de Python
Je vous propose un programme Python qui permet de voir si une suite est arithmétique de degré d.
def is_ardeg(liste , degre = 0): if len(liste) != 1: comp = [0] * len(liste) if liste == comp: return True , degre-1 else: # on vérifie s'il y a deux éléments identiques dans la liste comp = [ liste[0] ] * len(liste) if liste != comp: for e in liste: i = liste.index(e) L = liste[:i] + liste[i+1:] if e in L: return False u = [] for n in range(1,len(liste)): u.append( liste[n-1] - liste[n] ) return is_ardeg(u,degre+1) else: return False , "Pas assez d'éléments pour conclure."
>>> L = [i**2 for i in range(10)]
>>> is_ardeg(L)
(True, 2)
>>> is_ardeg([1, 3, 5, 7, 8, 9, 11])
False