Archive de l’étiquette solide

Section d’un cube par un plan défini par 3 points sur différentes faces

Nous allons voir dans cet article comment trouver la section d’un cube par un plan quand on connaît 3 points sur 3 arêtes de ce cube, chacun des points n’étant pas sur une face où se trouve l’un des deux autres.

On souhaite trouver la section du cube par le plan (IJK)

Etape 1 : on projette orthogonalement un point sur l’arête parallèle à celle où il se trouve et contenue dans une face où se trouve l’un des deux autres points.

Ici, on va projeter le point J sur [BF] car [BF] est contenue dans une face où se trouve K. On obtient un point que l’on nomme \(P_1\).

Projeté orthogonal d’un point sur une arête opposée

Etape 2 : on trace un triangle passant par le sommet opposé à la face contenant le point choisi et son projeté.

Ici, on trace \(AP_1\) et \(AJ\). Elles se coupent en un point \(P_2\).

On trace un triangle

Etape 4 : on trouve enfin un point qui appartient à la section cherchée.

Les points K et \(P_2\) appartiennent à la même face (ABFE) donc la droite \((KP_2)\) coupe l’arête [AE] (car elles ne sont pas parallèles). On obtient alors le point \(P_3\).

Un point appartenant à la section

On a ainsi l’intersection des plans (IJK) et (ADHE):

Intersection d’une face du cube avec le plan (IJK)

ainsi que celle des plans (IJK) et (ABFE):

Intersection d’une autre face du cube avec (IJK)

Etape 5 : on trace des parallèles

On trace maintenant la droite parallèle à \((KP_3)\) passant par J : elle coupe l’arête [DC] en \(P_4\):

On trace une parallèle pour trouver un autre côté de la section du cube par le plan (IJK)

On trace ensuite \([IP_4]\) qui est un autre côté de la section cherchée:

Puis la parallèle à \((IP_3)\) passant par J, qui coupe [GF] en \(P_5\):

On trace une deuxième parallèle

On trace enfin \([KP_5]\) qui ferme la section cherchée:

La section est désormais fermée

La section du cube par le plan (IJK) est le polygone \(KP_5JP_4IP_3\):

La section du cube par le plan est obtenue