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Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman

Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]

Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :

  1. un cercle de rayon r;
  2. le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle;
  3. le cercle circonscrit au triangle équilatéral;
  4. le carré circonscrit au dernier cercle;
  5. le cercle circonscrit au carré;
  6. le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle;
  7. le cercle circonscrit au pentagone;
  8. l’hexagone circonscrit au dernier cercle;
  9. etc.

En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).

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