Préparer son devoir sur les nombres complexes, partie Algèbre

Préparer son devoir sur les nombres complexes, partie Algèbre

Voici quatre exercices qui permettrons aux élèves de Terminale S de préparer leur devoir sur les nombres complexes (première partie de la leçon : l’agèbre).

À travers ces exercices, tout ce qu’il y a à savoir est résumé.

Exercice 1

On considère le polynôme complexe: $$P(z)=z^3-\text{i} z^2- \text{i}z-1- \text{i}$$

  1. Montrer que \(\alpha=1+ \text{i}\) est une racine de P.
  2. En déduire la valeur des nombres a, b et c tels que: $$P(z)=(z-\alpha)(az^2+bz+c).$$
  3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2+z+1=0\), puis en déduire toutes les solutions de l’équation \(P(z)=0\).

Exercice 2

On considère les deux nombres complexes: $$z_1 = 2\left[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right]\qquad\text{et}\qquad z_2=-\sqrt{2}+ \text{i} \sqrt2.$$ On pose alors: $$Z = \frac{z_1}{z_2}.$$

  1. Donner la forme algébrique de \(z_1\).
  2. Donner la forme trigonométrique, puis exponentielle de \(z_2\).
  3. Donner la forme algébrique de \((z_1)^6\). En déduire que pour tout entier naturel n, \((z_1)^{6n}\) est un réel.
  4. Calculer |Z| et déterminer un argument de Z à \(2\pi\) près.
  5. Déterminer la forme algébrique de Z.
  6. En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Exercice 3

Soit z un nombre complexe quelconque. On pose alors:$$z’ = \frac{z^2+\overline{z}^2}{2}.$$

  1. Montrer que \(z’\in\mathbb{R}\), quel que soit le nombre complexe z.
  2. Comment choisir z pour que z‘ = 0 ?

Exercice 4

On pose \(z_1=\text{e}^{\text{i}\theta_1}\) et \(z_2=\text{e}^{\text{i}\theta_2}\).

  1. Donner la forme algébrique de \(z_1z_2\).
  2. Donner la forme trigonométrique de \(z_1z_2\).
  3. En déduire une formule permettant de calculer \(\cos(\theta_1+\theta_2)\) en fonction de \(\cos\theta_1\), \(\cos\theta_2\), \(\sin\theta_1\) et \(\sin\theta_2\).

Note

Dans la mesure où je n’ai pas fait de corrigé, si vous décidez de vous entraîner sur ces exercices, vous pouvez proposer à votre enseignant.e. (ou à toutes autre personne compétente) vos réponses.

Le sujet au format \(\LaTeX\) est disponible pour les abonné.e.s de mathweb.fr ci-dessous:

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Stéphane Pasquet
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