Nous allons aujourd’hui regarder comment déterminer l’aire du triangle bleu de la figure ci-dessous, de deux manières différentes.
Tout est parti de ce tweet :
Comme j’ai du temps, je vais me pencher sur la question…
Le code LaTeX
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Aire du triangle: l’approche cartésienne
Je vais me placer dans le repère \( \big(A;\vec{AB},\vec{AD}\big)\).
Le point O a pour coordonnées (6;2) d’après l’énoncé donc son équation cartésienne est:$$(x-6)^2+(y-2)^2=4.$$
Cherchons le nombre m (non nul) tel que E(m ; 0) et (DE) tangente à ce cercle.
Le coefficient directeur de (DE) est \(-\frac{8}{m}\).
L’équation réduite de (DE) est donc:$$(DE)\quad:\quad y=-\frac{8}{m}x+8.$$
Cherchons maintenant les points d’intersection de (DE) et du cercle. Pour cela, on peut résoudre l’équation d’inconnue x:$$(x-6)^2+\left(-\frac{8}{m}x+8-2\right)^2=4 \iff (m^2+64)x^2-(12m^2+96m)x+68m^2=0$$
Nous voulons qu’il y ait une seule solution (afin que (DE) soit tangente au cercle) donc son discriminant doit être nul:$$(12m^2+96m)^2-4(m^2+64)\times68m^2=0.$$ soit: $$m^2(-128m^2+2304m-8192)=0.$$
Comme 0 < m < 8, on arrive alors à \( m = 9-\sqrt{17} \).
L’aire du triangle ADE est donc égale à :$$36-4\sqrt{17}\text{ cm}^2$$
Aire du triangle: l’approche euclidienne
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D’après le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle FOD rectangle en F,$$DO=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}.$$
Dans le triangle DOG rectangle en G,$$DG=\sqrt{72-4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.$$Donc,$$\widehat{ODG}=\arctan\left( \frac{\sqrt{17}}{17} \right).$$
Finalement,$$AE=8\tan\left[ \frac{\pi}{4}-\arctan\left(\frac{\sqrt{17}}{17}\right) \right]=8\times\frac{1-\tan\arctan\left(\frac{\sqrt{17}}{17}\right) }{1+\tan\arctan\left(\frac{\sqrt{17}}{17}\right) }$$et donc:$$AE=8\times\frac{1-\frac{\sqrt{17}}{17}}{1+\frac{\sqrt{17}}{17}}=9-\sqrt{17}.$$
Il vient alors que l’aire demandée est égale à \(4AE=36-4\sqrt{17}\).
