Aire entre trois cercles tangents

Aire entre trois cercles tangents

Cet article a pour objectifs de construire trois cercles tangents de rayons différents et de calculer l’aire du domaine compris entre ces trois cercles.

Construction

Rappelons que deux cercles tangents sont deux cercles qui se coupent en un unique point. Ainsi, trois cercles \(\mathcal{C}_1,\ \mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\) tangents sont tels que \(\mathcal{C}_i\cap\mathcal{C}_j=\{M_i\}\), avec \(i\neq j\), i = 1, 2 ou 3 et j = 1, 2 ou 3.

Notons respectivement \(r_i\) et \(O_i\)  le rayon et le centre de \(\mathcal{C}_i\), i = 1, 2 ou 3.

Construire \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) est aisé : il suffit de tracer le segment \([O_1O_2]\) de longueur \(r_1+r_2\).Nous cherchons donc à construire \(\mathcal{C}_3\), de rayon \(r_3\) de sorte qu’il soit tangent aux deux cercles. On doit alors avoir \(O_1O_3=r_1+r_3\) et \(O_2O_3=r_2+r_3\).

On peut ainsi construire le cercle de centre \(O_1\) et de rayon \(r_1+r_3\), puis le cercle de centre \(O_2\) de rayon \(r_2+r_3\). Ces deux cercles sont sécants en un point qui est \(O_3\).

Pour construire \(\mathcal{C}_3\), il suffit de tracer le cercle de centre \(O_3\) passant par le point d’intersection de \([O_1O_3]\) et de \(\mathcal{C}_1\) (par exemple).

Aire du domaine entre les trois cercles

Ce qui nous intéresse est l’aire du domaine hachuré représenté ci-dessous :

Théoriquement, son aire est obtenue en soustrayant à l’aire du triangle \(O_1O_2O_3\) la somme des aires des secteurs angulaires de centres \(O_1,\ O_2\) et \(O_3\).

À ce stade, nous ne connaissons que \(O_1O_2,\ O_2O_3\) et \(O_1O_3\).

À l’aide de la formule de Héron, on peut déterminer l’aire du triangle \(O_1O_2O_3\) et à l’aide de la formule d’Al-Kashi, nous pouvons trouver la mesure des angles \(\widehat{O_2O_1O_3},\ \widehat{O_1O_3O_2}\) et \(\widehat{O_3O_2O_1}\).

Aire de \(O_1O_2O_3\)

\(\mathcal{A}_T=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), avec \(a=O_1O_2,\ b=O_2O_3,\ c=O_3O_1,\ p=\frac{1}{2}(a+b+c)\).

 

Aire du secteur angulaire de centre \(O_1\)

Je note \(\alpha_1=\widehat{O_1}\) dans le triangle \(O_1O_2O_3\).

Avec les notations précédentes, on a : \[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\alpha_1\;, \]

soit : \[ \alpha_1=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right). \]

Ainsi, l’aire du secteur angulaire correspondant est égale à : \[ \mathcal{A}_1=\frac{1}{2}\alpha_1r_1^2=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)r_1^2. \]

(Je conviens ici d’exprimer les angles en radians)

Aire des secteurs angulaires de centres \(O_2\) et \(O_3\)

En notant \(\alpha_2=\widehat{O_2}\) et \(\alpha_3=\widehat{O_3}\) dans le triangle \(O_1O_2O_3\), et en utilisant ce que nous venons de faire précédemment, on a : \[\alpha_2=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\qquad\text{et}\qquad\alpha_3=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).\]

Ainsi, l’aire des secteurs angulaires correspondant respectivement à \(\alpha_2\) et \(\alpha_3\) sont égales à : \[ \mathcal{A}_2=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)r_2^2\quad\text{et}\quad\mathcal{A}_3=\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)r_3^2. \]

Aire du secteur hachuré

\[ \begin{align*} \begin{split} \mathcal{A} & = \mathcal{A}_T-\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3\\ & = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}-\frac{1}{2}\left[\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)r_1^2\right.\\ & \left.+\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)r_2^2+\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)r_3^2\right]. \end{split}\end{align*} \]

Application

Sur le schéma fait en début de section 3, j’ai pris \(r_k=k\) cm. On a alors : \[ \begin{align*} a&=1+2=3\\ b&=2+3=5\\ c&=1+3=4\\p&=\frac{1}{2} (3+5+4)=6\end{align*}\]

ce qui donne : \[ \begin{align*} \mathcal{A}&=\sqrt{6\times3\times1\times2}-\frac{1}{2}\left(1^2\times\arccos\frac{9+16-25}{2\times3\times4}\right.\\ & \left.\qquad+2^2\times\arccos\frac{9+25-16}{2\times3\times5}+3^2\times\arccos\frac{25+16-9}{2\times5\times4}\right)\\ \mathcal{A}& = 6-\frac{1}{2}\left(\arccos 0+4\arccos\frac{3}{5}+9\arccos\frac{4}{5}\right)\\ \mathcal{A} & \approx 0,464~\text{cm}^2. \end{align*} \]

 

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Evariste_Galois1973

One thought on “Aire entre trois cercles tangents

AlexandrePublié le  3:50 - Juin 9, 2020

Bonjour,

Je suis à la recherche d’une solution pour calculer l’aire comme vous l’avez fait ici.
Mais j’ai un problème …
Mes cerles ne sont pas tangents !
Avez-vous une piste ou une idée ?

    Evariste_Galois1973

    Publié le  5:48 - Juin 9, 2020

    Si les cercles ne sont pas tangents, le domaine délimité par les cercles n’existe pas… Ou bien j’ai mal compris ce que vous vouliez dire (ce qui est fort possible!).

AlexandrePublié le  9:14 - Juin 11, 2020

Merci pour votre réponse !

Pour faire simple, je dois faire une triangulation pour localiser un objet.
J’ai pour le moment trois bornes (ici les trois points du triangle).
En données d’entrées, j’ai trois distances (ici : r1, r2 et r3), ainsi que la position des trois points O1 O2 et O3.
Mais la somme de deux distances n’est pas forcément égale au côté du triangle (par exemple r1+r2 != O1O2), les cercles ne sont pas forcément tangents …

Calculer l’aire me permet de donner un indice de fiabilité. (Pour savoir si la localisation est juste ou non)
C’est un problème un peu compliqué … (surtout que dans l’avenir, j’aurais peut-être plusieurs cercles et non uniquement 3)
Vous entendez quoi par “le domaine délimité par les cercles n’existe pas” ?

J’ai trouvé une autre solution pour avoir un indice de fiabilité, mais elle n’est pas aussi précise que si j’arrive à calculer l’aire entre les cercles.

Avez-vous une piste ?
Merci d’avance !
Bonne journée

    Evariste_Galois1973

    Publié le  5:50 - Juin 13, 2020

    L’espace commentaire d’un blog n’est pas le bon endroit pour demander une réponse à un problème complexe. Sans illustration, difficile de comprendre. Je vous conseille d’aller sur un forum de maths.

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