On considère un polynôme à coefficients entiers : $$P(X)=\sum_{k=0}^n c_kX^k\quad,\quad \forall\; k\in[0;n]\cap\mathbb{N},\ c_k\in\mathbb{Z}.$$L’objectif ici est de démontrer que s’il admet une racine rationnelle irréductible \(\frac{a}{b}\) alors \(a\) divise \(c_0\) et \(b\) divise \(c_ n\).

Démonstration

On part de l’hypothèse selon laquelle \(P\left(\frac{a}{b}\right)=0\) puisque \(\frac{a}{b}\) est une racine du polynôme \(P\) : $$ \begin{align} & P\left(\frac{a}{b}\right)=0 \\ \iff & \sum_{k=0}^n c_k\left(\frac{a}{b}\right)^k\\ \iff & c_0+\frac{c_1a}{b}+\frac{c_2a^2}{b^2}+\cdots+\frac{c_na^n}{b^n}=0\\ \iff & c_0b^n+c_1ab^{n-1}+c_2a^2b^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-1}b+c_na^n=0.\end{align}$$ De cette dernière égalité, on peut en déduire deux résultats :

• Dans un premier temps, $$\begin{align} c_0b^n & =-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b-c_na^n\\ & = -a\big(c_1b^{n-1}+c_2ab^{n-2}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}b+c_na^{n-1}\big) \end{align}$$ Or, \(\text{pgcd}(a,b)=1\) donc \(\text{pgcd}(a,b^n)=1\) et, d’après le théorème (arithmétique) de Gauss, \(a\) divise \(c_0\) ;
• D’autre part, $$\begin{align} c_n a^n & =-c_0b^n-c_1ab^{n-1}-c_2a^2b^{n-2}-\cdots-c_{n-1}a^{n-1}b\\ & = -b\big(c_0b^{n-1}+c_1ab^{n-2}+c_2a^2b^{n-3}+\cdots+c_{n-1}a^{n-2}\big) \end{align}$$ Or, \(\text{pgcd}(a,b)=1\) donc \(\text{pgcd}(a^n,b)=1\) et, d’après le théorème (arithmétique) de Gauss, \(b\) divise \(c_n\).

Application

Ce résultat peut nous servir par exemple à démontrer que \( \sin\frac{\pi}{18}\) est irrationnel. En effet, on sait que : $$\sin\left(3\times\frac{\pi}{18}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\;;$$ de plus, $$ \sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x$$ donc, de ces deux égalités, on déduit : $$ 3\sin\frac{\pi}{18}-4\sin^3 \frac{\pi}{18}=\frac{1}{2}$$ soit, en posant \( S = \sin\frac{\pi}{18}\), $$ 3S-4S^3=\frac{1}{2}$$ ou encore : $$ 8S^3-6S+1=0.$$

En posant \( X = 2S\), l’égalité devient :$$X^3-3X+1=0.$$ Si \(\sin\frac{\pi}{18}\) est rationnel alors il en est de même pour son double \(X\).

Or, d’après le résultat démontré précédemment, si l’équation \(X^3-3X+1=0\) admet une solution rationnelle \(\frac{a}{b}\) alors \(a\) divise 1 et \(b\) divise 1, ce qui ne laisse comme choix pour solution que \(X=1\) ou \(X=-1\).

Mais ni 1 ni \(-1\) n’est solution de l’équation, ce qui signifie que l’équation \( X^3-3X+1=0\) n’admet aucune solution rationnelle et donc que la solution connue, à savoir \(X\) est irrationnelle et donc que \(S\) est irrationnelle.