Nous allons voir dans cet article une preuve (bien entendu erronée) que 2 = 4. Ce que nous allons voir est compréhensible par des élèves de Terminale ayant vu la notion de continuité de fonctions.

D’abord, la pseudo-preuve

Considérons l’équation:$$x^{x^{x^{\ldots}}}=2.$$Elle admet \(\sqrt2\) comme solution. Évident non ? Non ? Bon, je m’explique: d’abord, si l’équation admet une solution alors elle est nécessairement positive. De plus, $$\begin{align} { \color{blue} x^{ \color{ blue } x^{ \color{ blue } x^{ \color{ blue } \ldots}}}}=2 & \iff x^{\color{ blue }x^{ \color{ blue } x^{ \color{ blue } \ldots}}}=2 \\ & \iff x^{\color{blue}2} = 2\\ & \iff x=\sqrt2. \end{align} $$On peut alors écrire:$$\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\ldots}}}=2.$$

Considérons maintenant l’équation: $$x^{x^{x^{\ldots}}}=4.$$ De manière analogue, on a:$$\begin{align} x^{x^{x^{\ldots}}}=4 & \iff x^4 = 4\\& \iff (x^2)^2 – 2^2 = 0\\&\iff(x^2-2)(x^2+2)=0\\&\iff x^2-2=0\\&\iff x^2=2\\&\iff x=\sqrt2\text{ car }x>0. \end{align}$$Ainsi,$$\sqrt{2}^{\sqrt2^{\sqrt2^{\ldots}}}=4.$$

Des deux égalités trouvées, on en déduit que 2 = 4.

Ensuite, la démolition de la pseudo-preuve

Considérons la fonction:$$f(x)=\sqrt[x]{x}=\text{e}^{\frac{\ln(x)}{x}}.$$Une étude de fonction classique montre que sur \([1;+\infty[\), f(x) prend ses valeurs dans \([1;\sqrt[\text{e}]{\text{e}}]\), qu’elle est strictement croissante sur [1;e], prenant ses valeurs de 1 à \( \sqrt[\text{e}]{\text{e}} \), puis strictement décroissante sur [e;+\(\infty\)[ prenant ses valeurs de \( \sqrt[\text{e}]{\text{e}} \) à 1. Ainsi, d’après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation f(x)=a admet deux solutions si 1 < a < \( \sqrt[\text{e}]{\text{e}} \), la première sur [1;e] et la seconde sur [e;+\(\infty\)[.

Pour 1 < a < \(\sqrt[\text{e}]{\text{e}}\), l’équation d’inconnue x > 0:$$a^x = x$$admet donc deux solutions. En effet,$$\begin{align}a^x = x & \iff \left(a^x\right)^{\frac{1}{x}} = x^{\frac{1}{x}}\\&\iff a = \sqrt[x]{x}\end{align}$$Notons \(1<x_1<\text{e}\) et \(\text{e}<x_2\) ces deux solutions. Alors, a peut s’écrire de deux façons:$$a = \sqrt[x_1]{x_1} = \sqrt[x_2]{x_2}.$$

Soit a \(\geq\) 1. Considérons maintenant la suite \((u_n(a)\) définie par:$$\begin{cases}u_1(a)=a\\u_{n+1}(a)=a^{u_n(a)}\end{cases}$$pour \(n\geq1\). Si la suite admet une limite, notons-la u(a). Alors,$$u(a)=a^{a^{a^{\ldots}}}.$$On peut aussi écrire:$$\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1}(a)= \lim\limits_{n\to+\infty} a^{u_n(a)} \iff u(a)=a^{u(a)} \iff a = \sqrt[u(a)]{u(a)}.$$

D’après ce qui a été dit en amont, $$a < \sqrt[\text{e}]{\text{e}}.$$Cela signifie donc que la suite ne peut converger que si on a cette condition.

Or, \( \sqrt[\text{e}]{\text{e}} \approx 1,44466 \). En prenant \(a = \sqrt2\approx1,414\), la suite admet une limite égale à 2 donc l’équation:$$x^{x^{x^{\ldots}}}=2$$admet bien une solution qui est \(\sqrt2\). En revanche, l’équation: $$x^{x^{x^{\ldots}}}=4$$ne peut admettre de solution car 4 n’est pas compris entre 1/e et e. C’est la raison pour laquelle la pseudo-preuve n’est pas une preuve.

Si vous souhaitez en savoir plus, je vous encourage à lire cet article (cliquez dessus pour être redirigés).