Le théorème de Viviani

Le théorème de Viviani

Ce théorème stipule que : “dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur quelconque aux trois côtés est constante.”

Autrement dit, quelle que soit la position du point M dans le triangle ABC, \[ \text{MS}+\text{MQ}+\text{MO} = \text{constante}.\]

Démonstration avec les aires

Posons \(A_1\) l’aire du triangle ABM ; alors, \[ A_1=\frac{1}{2}\text{AB}\times\text{MO}.\]

Posons \(A_2\) l’aire du triangle ACM ; alors, \[ A_2=\frac{1}{2}\text{AC}\times\text{MQ}.\]

Posons \(A_3\) l’aire du triangle CBM ; alors, \[ A_3=\frac{1}{2}\text{BC}\times\text{MS}.\]

Posons \(A_0\) l’aire du triangle ABC ; alors, \[ A_0=\frac{1}{2}\text{AC}\times h\]

où h est la hauteur de ABC issue de B. À l’aide du théorème de Pythagore, on peut démontrer que : \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{AC}.\]

On en déduit que : \[ A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}\text{AC}^2.\]

Or, \[ A_0=A_1+A_2+A_3\]  et\[ \text{AC} = \text{AB} = \text{BC}. \]

Donc : \[ \frac{\sqrt{3}}{4}\text{AC}^2=\frac{1}{2}\text{AC}\left(\text{MO}+\text{MS}+\text{MQ}\right) \]

soit : \[ \text{MO}+\text{MS}+\text{MQ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{AC}.\]

On voit alors que la somme des 3 distances ne dépend pas de la position de M.

Démonstration avec l’analyse

On rapporte le plan au repère \(\left(\text{A}~;\vec{\text{AC}},\vec{j}\right)\), où \(\vec{\text{AC}}\cdot\vec{j}=0\) et \(\|\vec{\text{AC}}\|=\|\vec{j}\|\). Alors, \[ \text{A}(0~;0)\quad ;\quad \text{C}(1~;0)\quad ;\quad \text{B}\left(\frac{1}{2}~;\frac{\sqrt{3}}{2}\right).\]

Ainsi, \[ \vec{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right),\]

d’où : \[ (\text{AB})\;:\; \frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0,\]

Ou encore : \[ (\text{AB})\;:\; \sqrt{3}x-y=0.\]

De plus, on a : \[ \vec{\text{BC}}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array} \right) ,\]

d’où : \[ (\text{BC})\;:\; -\sqrt{3}x-y+y_0=0.\]

\[\text{C}\in(\text{BC}) \Rightarrow y_0=\sqrt{3},\]

donc : \[ (\text{BC})\;:\; -\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0.\]

Posons alors \(M(\alpha~;\beta)\) dans ce repère. On sait que la distance du point M à une droite (d) d’équation ax+by+c=0 est : \[ \text{d}(\text{M};(d))=\frac{\vert a\alpha + b\beta + c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

D’où : \[ \text{d}(\text{M};(\text{AB}))=\frac{\vert \alpha\sqrt{3} – \beta \vert}{\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}}=\frac{\vert \alpha\sqrt{3}-\beta\vert}{2} \] et \[ \text{d}(\text{M};(\text{BC}))=\frac{\vert -\alpha\sqrt{3} – \beta+\sqrt{3} \vert}{\sqrt{(-\sqrt{3}^2+(-1)^2}}=\frac{\vert -\alpha\sqrt{3} – \beta+\sqrt{3}\vert}{2}. \]

De plus, \[ \text{d}(\text{M};(\text{AC}))=\beta.\]

De plus, M est toujours au-dessous de (AB), d’équation réduite : \[ y=x\sqrt{3}.\]

Donc : \[ \beta \leq\alpha\sqrt{3},\]

ce qui signifie que : \[ \alpha\sqrt{3}-\beta\geq 0\]

et donc : \[ \text{d}(\text{M};(\text{AB}))=\frac{\alpha\sqrt{3}-\beta}{2}. \]

De même, M est toujours au-dessous de (BC), d’équation réduite : \[ y=-x\sqrt{3}+\sqrt{3},\]

d’où : \[ \beta\leq-\alpha\sqrt{3}+\sqrt{3},\]

ce qui signifie que : \[ -\alpha\sqrt{3}-\beta+\sqrt{3}\geq 0\]

et donc :

\[ \text{d}(\text{M};(\text{BC}))=\frac{-\alpha\sqrt{3} – \beta+\sqrt{3}}{2}. \]

Ainsi,

\[ \text{d}(\text{M};(\text{BC})) + \text{d}(\text{M};(\text{AC})) + \text{d}(\text{M};(\text{AB}))=\frac{\alpha\sqrt{3}-\beta-\alpha\sqrt{3}-\beta+\sqrt{3}}{2}+\beta,\]

soit :

\[ \text{d}(\text{M};(\text{BC})) + \text{d}(\text{M};(\text{AC})) + \text{d}(\text{M};(\text{AB}))=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

La somme des 3 distances ne dépend donc pas de la position du point M.

 

Télécharger cet article au format PDF : Théorème de Viviani

Voir les fichiers sources \(\LaTeX\) du document PDF : cliquez ici

Stéphane Pasquet
Stéphane Pasquet

Auteur de livres parascolaires en mathématiques

Laissez votre message