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Triangle orthique et problème de Fagnano

Giulio Fagnano était un mathématicien italien de la fin du XVIIe siècle.

Il a probablement été le premier à s’être intéressé à la théorie des intégrales elliptiques, mais ce n’est pas l’objet de cet article.

Le problème connu sous le nom de problème de Fagnano est le suivant :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle ?

Le théorème de Pick

On considère un polygone convexe, c’est-à-dire une figure géométrique constituée de plusieurs côtés rectilignes de sorte qu’aucun sommet ne “rentre”  dans la figure, sur un maillage régulier de sorte que chaque sommet soit sur un nœudde ce maillage comme l’illustre le schéma ci-dessous.

Le théorème de Pick stipule que la superficie du polygone peut être calculée de façon simple à l’aide de la formule :  \[ \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1\]
exprimée en unités d’aire, où “i” représente le nombre de nœuds intérieurs au polygone et “b” celui des nœuds se trouvant sur ses côtés.

Le théorème de Viviani

Ce théorème stipule que : “dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur quelconque aux trois côtés est constante.”

Autrement dit, quelle que soit la position du point M dans le triangle ABC, \[ \text{MS}+\text{MQ}+\text{MO} = \text{constante}.\]

Calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle

Considérons un triangle quelconque ABC ; posons alors AB = c, AC = et BC = a.

Posons \(\ell\) la longueur de la bissectrice issue de C ; alors, on a:

 

Démontrons ce résultat…